Функция квадратного корня и её график

Знакомство с новой функцией

После того как вы научились извлекать квадратные корни и преобразовывать выражения с ними, в курсе появляется новая функция — функция квадратного корня, задаваемая формулой y = √x. Эта функция каждому неотрицательному значению аргумента ставит в соответствие арифметический квадратный корень из него. Изучать её важно по двум причинам. Во-первых, она показывает, как именно ведёт себя корень при росте подкоренного числа. Во-вторых, на её примере удобно повторить понятия области определения, области значений и монотонности функции.

Область определения и область значений

Под знаком арифметического квадратного корня не может стоять отрицательное число, поэтому функция определена только при неотрицательных значениях аргумента. Значения самой функции тоже неотрицательны, ведь арифметический корень по определению не бывает отрицательным. Это сразу задаёт, в какой части координатной плоскости расположится график.

Область определения: x ≥ 0, то есть промежуток [0; +∞). Область значений: y ≥ 0, то есть тоже промежуток [0; +∞).

Построение графика

Чтобы построить график, составим таблицу значений, выбирая такие значения аргумента, из которых корень извлекается точно, — то есть полные квадраты. Это избавит от приближённых вычислений.

Отметив эти точки и соединив их плавной линией, получаем кривую, которая выходит из начала координат и поднимается вправо, постепенно становясь всё более пологой. По форме это половина ветви параболы, повёрнутой набок и целиком расположенной в первой координатной четверти. Чем больше аргумент, тем медленнее растёт значение функции — это хорошо видно по таблице: чтобы значение увеличилось ещё на единицу, аргумент приходится увеличивать всё сильнее.

Свойства функции

• График проходит через начало координат — точку с координатами (0; 0).
• Функция возрастает на всей области определения: чем больше x, тем больше y.
• Наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего значения не существует.
• График целиком лежит в первой координатной четверти.

Функция y = √x является обратной к функции y = x^2, рассмотренной только при неотрицательных значениях аргумента. Поэтому графики этих двух функций симметричны относительно прямой y = x. Эту связь полезно держать в голове: она помогает быстро представить, как выглядит график корня, опираясь на хорошо знакомую параболу.

Частые ошибки. Нельзя подставлять отрицательные значения аргумента — функция при них не определена. Арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому график никогда не опускается ниже оси абсцисс и не заходит в нижние четверти.

Кратко о главном

• Функция y = √x определена только при x ≥ 0.
• Её значения неотрицательны, область значений — промежуток [0; +∞).
• График выходит из начала координат и возрастает, напоминая ветвь параболы, повёрнутую набок.
• Функция возрастающая и обратна функции y = x^2 при неотрицательных значениях аргумента.