Умножение и деление квадратных корней

Умножение и деление квадратных корней

Арифметические квадратные корни перемножать и делить намного проще, чем складывать. Здесь действуют два коротких правила, которые превращают произведение или частное корней в один корень. Эти правила — прямое следствие свойств степеней для неотрицательных чисел, и работать с ними удобнее, чем со сложением, потому что предварительное упрощение часто не требуется.

Правило умножения

Для любых неотрицательных a и b верно: √a · √b = √(a·b). Корень из произведения равен произведению корней, и наоборот — это равенство читается в обе стороны. Поэтому корни можно как объединять под один знак, так и разбивать на множители, что бывает полезно при упрощении.

Правило деления

Если b больше нуля, то √a : √b = √(a/b). Корень из дроби равен дроби корней. Знаменатель обязан быть положительным, ведь на ноль делить нельзя, а из отрицательного числа арифметический квадратный корень не извлекается.

Корни с коэффициентами

Когда перед корнями стоят числа, отдельно перемножают коэффициенты и отдельно подкоренные части: a√m · b√n = (a·b)·√(m·n). Это удобно, потому что разбивает действие на два простых шага. При делении поступают аналогично: делят коэффициенты и делят подкоренные числа. Если подкоренные числа не делятся нацело, частное всё равно записывают под корнем, а затем по возможности упрощают полученную дробь.

Правило умножения помогает и при возведении корня в квадрат: (√a)² = √a · √a = √(a·a) = √(a²) = a. Поэтому квадрат арифметического квадратного корня из неотрицательного числа равен самому этому числу. Это важное тождество постоянно используется при освобождении от иррациональности и решении уравнений с корнями.

Порядок действий при умножении

1. Перемножить коэффициенты, стоящие перед корнями.
2. Перемножить подкоренные числа под общим корнем.
3. Упростить полученный корень, вынеся полные квадраты.
4. Если под корнем оказался точный квадрат — извлечь его.

Разобранный пример

Вычислим 3√6 · 2√10.

Правило самопроверки. Если после умножения под корнем оказался полный квадрат — корень обязательно нужно извлечь. Оставить √16 вместо 4 считается незавершённым решением.

Частые ошибки. Применяют правило к отрицательным подкоренным числам, чего делать нельзя; забывают упростить полученный корень; путают деление корней с их вычитанием; перемножают коэффициенты, но забывают перемножить сами корни. Помните: правила работают только для неотрицательных чисел.

Кратко о главном

• √a · √b = √(a·b) — корень из произведения равен произведению корней.
• √a : √b = √(a/b) при положительном знаменателе.
• Коэффициенты умножаются и делятся отдельно от подкоренных частей.
• Полученный корень всегда упрощают и извлекают, если можно.
• Правила справедливы только для неотрицательных подкоренных чисел.