Дискриминант и формула корней квадратного уравнения
📐 Алгебра · 8 класс
Дискриминант квадратного уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида a*x^2 + b*x + c = 0, где a != 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a — старший коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Чтобы узнать, сколько у уравнения корней, и найти их, вычисляют специальную величину — дискриминант.
Дискриминант обозначают буквой D и находят по формуле:
D = b^2 - 4*a*c
Само слово «дискриминант» происходит от латинского глагола, означающего «различать»: эта величина как раз и различает случаи, когда корней два, один или нет вовсе.
Как знак дискриминанта определяет число корней
| Значение D | Число корней | График параболы |
|---|---|---|
D > 0 | Два различных корня | Пересекает ось дважды |
D = 0 | Один корень (два совпадающих) | Касается оси |
D < 0 | Корней нет | Не пересекает ось |
Формула корней
Если дискриминант не отрицателен, корни находят по формуле:
x = (-b ± sqrt(D)) / (2*a)
Знак «плюс-минус» означает, что вычисляют два значения: одно со знаком плюс, другое со знаком минус. Если D = 0, оба значения совпадают, и говорят, что уравнение имеет один корень.
Разобранный пример
Решим уравнение 2*x^2 - 7*x + 3 = 0. Здесь a = 2, b = -7, c = 3.
Считаем дискриминант:
D = (-7)^2 - 4*2*3 = 49 - 24 = 25
Так как D > 0, корней два. Находим их:
x = (7 ± sqrt(25)) / (2*2) = (7 ± 5) / 4
x1 = (7 + 5)/4 = 3
x2 = (7 - 5)/4 = 0.5
Пример с одним корнем
Решим x^2 - 6*x + 9 = 0. Здесь a = 1, b = -6, c = 9:
D = 36 - 36 = 0
Дискриминант равен нулю, поэтому корень один:
x = 6 / 2 = 3
Пример без корней
В уравнении x^2 + x + 5 = 0 дискриминант равен 1 - 20 = -19. Он отрицателен, значит действительных корней нет, и решать дальше не нужно.
Чётный второй коэффициент
Когда коэффициент b чётный, удобно пользоваться сокращённой формулой. Обозначим половину второго коэффициента через k = b / 2. Тогда вычисляют четверть дискриминанта по формуле D1 = k^2 - a*c, а корни находят так: x = (-k ± sqrt(D1)) / a. Числа в этом случае получаются меньше, и считать проще.
Например, для уравнения x^2 - 8*x + 7 = 0 берём k = -4 и считаем D1 = 16 - 7 = 9. Тогда x = (4 ± 3) / 1, то есть x1 = 7 и x2 = 1. Ответ совпадает с тем, что дала бы обычная формула, но вычисления короче.
Частые ошибки. Часто забывают про минус у коэффициента b или возводят в квадрат отрицательное число со знаком минус. Перед применением формулы уравнение нужно привести к стандартному виду, где справа стоит ноль. Если D < 0, нельзя извлекать квадратный корень — действительных корней нет.Кратко о главном
- Дискриминант находят по формуле
D = b^2 - 4ac. - Знак дискриминанта показывает число корней.
- Корни вычисляют по формуле через дискриминант.
- Сначала приводим уравнение к стандартному виду.