Числовые промежутки
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое числовой промежуток
Числовой промежуток — это множество всех чисел, расположенных между двумя данными числами или ограниченных одним числом. Промежутки изображают на координатной прямой и записывают с помощью специальных скобок. Они нужны, чтобы коротко записывать ответы неравенств и описывать области допустимых значений.
Любому неравенству с одной переменной соответствует промежуток на прямой. Например, неравенству x > 3 отвечают все точки правее тройки. Поэтому язык промежутков и язык неравенств тесно связаны.
Виды промежутков
| Название | Условие | Запись |
|---|---|---|
| Интервал | a < x < b | (a; b) |
| Отрезок | a <= x <= b | [a; b] |
| Полуинтервал | a <= x < b | [a; b) |
| Полуинтервал | a < x <= b | (a; b] |
| Луч | x >= a | [a; +inf) |
| Открытый луч | x > a | (a; +inf) |
Круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток, а квадратная — что входит. Рядом со знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, потому что бесконечность — это не число, а обозначение неограниченности.
Изображение на прямой
Чтобы изобразить промежуток, на координатной прямой отмечают границы. Если граница входит в промежуток, ставят закрашенную точку, если не входит — выколотую. Затем закрашивают нужную часть прямой. Например, отрезок [2; 5] изображают двумя закрашенными точками в 2 и 5 и закрашенным отрезком между ними.
Пересечение и объединение
Пересечение промежутков — это числа, которые входят сразу в оба множества. Объединение — числа, входящие хотя бы в одно из них.
Найдём пересечение и объединение промежутков [2; 6] и (4; 9):
Пересечение: (4; 6]
Объединение: [2; 9)
На прямой пересечение — это общая закрашенная часть, а объединение — вся закрашенная часть обоих промежутков вместе. Пересечение применяют, когда решают систему неравенств (нужно выполнить оба условия), а объединение — когда решают совокупность (достаточно хотя бы одного условия).
Промежутки и системы неравенств
Рассмотрим систему: x > 1 и одновременно x <= 5. Первому условию соответствует луч (1; +inf), второму — луч (-inf; 5]. Решение системы — пересечение этих промежутков, то есть полуинтервал (1; 5]. Если же условия соединены союзом «или», берут объединение, и решением будет вся числовая прямая, потому что любое число удовлетворяет хотя бы одному из условий.
Особые случаи
Иногда пересечение промежутков оказывается пустым — например, у (-inf; 0) и (2; +inf) общих чисел нет. Такое множество называют пустым и говорят, что система решений не имеет. А бывает, что один промежуток целиком лежит внутри другого: тогда их пересечение равно меньшему промежутку, а объединение — большему.
Частые ошибки. Часто путают круглые и квадратные скобки на границах. Рядом с бесконечностью никогда не ставят квадратную скобку, потому что бесконечность не является числом. При записи нескольких промежутков их соединяют знаком объединения.
Кратко о главном
- Промежуток — множество чисел на координатной прямой.
- Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.
- У бесконечности всегда круглая скобка.
- Пересечение — общая часть, объединение — все числа вместе.