Уравнение вида икс в квадрате равно а

Простейшее квадратное уравнение

Уравнение вида x^2 = a — самое простое из квадратных. К нему сводятся многие неполные квадратные уравнения, поэтому важно хорошо понимать, как оно решается. Число его корней полностью зависит от знака правой части a, и здесь возможны три разных случая.

Три случая

Правило. Уравнение x^2 = a при a > 0 имеет два корня x = ±√a; при a = 0 — один корень x = 0; при a < 0 корней нет.

Почему так

Левая часть x^2 всегда неотрицательна: квадрат любого числа не может быть меньше нуля. Поэтому если справа стоит положительное число, найдутся ровно два значения переменной — положительное и отрицательное, дающие в квадрате это число. Если справа ноль, то лишь сам ноль в квадрате даёт ноль. А если справа отрицательное число, равенство невозможно, ведь квадрат не бывает отрицательным, и корней нет. Эту мысль удобно запомнить так: график функции y = x^2 — это парабола, лежащая не ниже оси, и горизонтальная прямая y = a пересекает её в двух точках при положительном a, касается в одной точке при нуле и вовсе не пересекает при отрицательном a.

Разбор примера

Решим уравнение, где справа стоит точный квадрат:

Получаем два корня: x = 7 и x = -7. Оба при возведении в квадрат дают 49, поэтому оба верны. Очень важно не потерять отрицательный корень — это типичное упущение. Запись со знаком плюс-минус как раз и нужна, чтобы коротко указать сразу оба корня и ничего не пропустить.

Частая ошибка. Писать только положительный корень x = 7 и забывать про x = -7. Также ошибочно пытаться решать уравнение x^2 = -4: здесь корней нет, а вовсе не x = -2, ведь квадрат числа не может равняться отрицательному значению.

Уравнение со сдвигом

Иногда квадрат стоит не от самой переменной, а от выражения, например (x-1)^2 = 16. Тогда рассуждают точно так же: выражение в скобках равно корню из правой части со знаком плюс или минус. Получаем x-1 = ±4, откуда два уравнения x-1 = 4 и x-1 = -4, и в итоге x = 5 либо x = -3. Главное — не забыть оба знака перед корнем и решить каждое из двух линейных уравнений отдельно.

Связь с общим случаем

К виду x^2 = a сводятся неполные квадратные уравнения без линейного члена. Например, уравнение 2x^2 - 18 = 0 сначала приводят к 2x^2 = 18, затем делят на 2 и получают x^2 = 9, откуда x = ±3. Поэтому умение решать простейшее уравнение нужно постоянно.

Кратко о главном

• Уравнение x^2 = a при a > 0 имеет два корня ±√a.
• При a = 0 единственный корень — ноль.
• При a < 0 корней нет.
• Квадрат числа всегда неотрицателен.
• Нельзя терять отрицательный корень.
• К этому виду сводятся неполные квадратные уравнения.