Разложение квадратного трёхчлена на множители

Что такое квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида a*x^2 + b*x + c, где a != 0. Например, выражения x^2 - 5x + 6 и 3x^2 + x - 2 — это квадратные трёхчлены. Значения переменной, при которых трёхчлен обращается в ноль, называют его корнями — это корни соответствующего квадратного уравнения a*x^2 + b*x + c = 0.

Если корни найдены, трёхчлен можно представить в виде произведения линейных множителей. Это очень полезное преобразование: оно помогает сокращать дроби, решать неравенства методом интервалов и упрощать выражения.

Основная формула разложения

Если x1 и x2 — корни квадратного трёхчлена a*x^2 + b*x + c, то справедливо равенство a*x^2 + b*x + c = a*(x - x1)*(x - x2).

Когда разложение возможно

Разобранный пример

Разложим на множители трёхчлен 2*x^2 - 7*x + 3. Сначала найдём его корни через дискриминант:

D = 49 - 24 = 25

x1 = 3, x2 = 0.5

Подставляем корни в формулу и не забываем множитель a, равный 2:

2*x^2 - 7*x + 3 = 2*(x - 3)*(x - 0.5)

Чтобы избавиться от дроби, множитель 2 можно внести в скобку: = (x - 3)*(2x - 1).

Простой случай со старшим коэффициентом, равным единице

Когда a = 1, удобно подбирать корни по теореме Виета: их сумма равна -b, а произведение равно c. Разложим x^2 - 5x + 6. Подбираем числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Значит:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Применение к дробям

Разложение удобно для сокращения дробей. Например:

(2*x^2 - 7*x + 3) / (x - 3) = [(x - 3)(2x - 1)] / (x - 3) = 2x - 1

Здесь общий множитель (x - 3) сократился, и громоздкая дробь превратилась в простой двучлен (при x != 3).

Применение к неравенствам

Разложение на множители открывает дорогу к методу интервалов. Чтобы решить неравенство x^2 - 5x + 6 > 0, сначала раскладываем левую часть: (x - 2)(x - 3) > 0. Теперь видны нули — это 2 и 3, и неравенство легко решается на числовой прямой. Без разложения квадратное неравенство решать было бы намного труднее.

Когда разложить нельзя

Если дискриминант трёхчлена отрицателен, корней нет, и на линейные множители с рациональными числами он не раскладывается. Например, у трёхчлена x^2 + x + 1 дискриминант равен 1 - 4 = -3. Такой трёхчлен называют неразложимым: он сохраняет один и тот же знак при всех значениях переменной.

Частые ошибки. Чаще всего забывают про старший коэффициент a и пишут просто произведение скобок. Также путают знак: в формуле стоит (x - x1), поэтому при положительном корне в скобке будет минус, а при отрицательном — плюс.

Кратко о главном

• Корни трёхчлена — это корни квадратного уравнения.
• Формула разложения: a*(x - x1)*(x - x2).
• При D < 0 на линейные множители не раскладывается.
• Разложение помогает сокращать рациональные дроби.