Двойные неравенства

Двойное неравенство

Двойным неравенством называют запись вида a < f(x) < b, которая означает, что выражение эф от икс одновременно больше числа а и меньше числа бэ. По сути это краткая запись системы из двух неравенств, и решают её похожим образом — находят значения переменной, удовлетворяющие обоим условиям сразу. Двойные неравенства часто появляются, когда переменная зажата между двумя границами.

Два способа решения

Двойное неравенство можно решать двумя путями, и оба приводят к одному ответу:

• Как систему — разбить его на два неравенства f(x) > a и f(x) < b, решить каждое и взять пересечение их решений.
• Преобразованиями над всеми тремя частями сразу — прибавлять, вычитать, умножать или делить все три части на одно и то же число одновременно.

При умножении или делении всех частей двойного неравенства на отрицательное число знаки обоих неравенств меняются на противоположные, а крайние части при этом меняются местами.

Разобранный пример

Решим неравенство -1 < 2x + 3 < 7, работая сразу со всеми тремя частями. Сначала вычтем из каждой части число 3, затем разделим каждую часть на 2:

Ответ — промежуток (-2; 2). Этот способ короче, чем решение через систему, поэтому им пользуются, когда выражение в середине простое.

Запись ответа

Ответ двойного неравенства всегда удобно записать числовым промежутком. Строгим знакам неравенства соответствуют круглые скобки, которые означают, что концевая точка не входит в ответ. Нестрогим знакам соответствуют квадратные скобки, которые показывают включение концевой точки. Аккуратная запись скобок важна не меньше, чем правильные вычисления.

Связь с числовыми промежутками

Двойное неравенство и числовой промежуток — это два способа записать одно и то же множество чисел. Запись -2 < x < 2 и промежуток (-2; 2) означают одно: все числа строго между −2 и 2. Поэтому, решая двойное неравенство, мы фактически описываем некоторый промежуток на числовой прямой. Умение переходить от одной формы записи к другой важно при решении неравенств методом интервалов и при работе с областью определения функции.

Частые ошибки. Преобразуют только две части из трёх, забывая про среднюю или крайнюю. Делят все части на отрицательное число, но не меняют знаки и не переставляют крайние части. Путают круглые и квадратные скобки при записи ответа.

Кратко о главном

• Двойное неравенство a < f(x) < b — краткая запись системы из двух неравенств.
• Решать можно как систему или преобразованиями всех трёх частей сразу.
• При делении на отрицательное число знаки меняются, а крайние части переставляются.
• Ответ записывают числовым промежутком с правильными скобками.