Степень с целым отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем

В седьмом классе вы научились возводить числа в натуральную степень: запись a^n означает произведение n одинаковых множителей. Такая степень была определена только для натуральных показателей, то есть для чисел один, два, три и так далее. Однако во многих задачах физики, химии и техники удобно пользоваться нулевым и отрицательными показателями: они появляются при записи очень малых величин и при делении степеней. Поэтому в восьмом классе понятие степени расширяют так, чтобы показатель мог быть нулём или любым целым отрицательным числом, и при этом все привычные правила действий сохранялись.

Степенью числа a (где a ≠ 0) с целым отрицательным показателем -n называют дробь, обратную степени с положительным показателем:

a^(-n) = 1 / a^n, при этом a ≠ 0 и n — натуральное число.

Отдельно вводят нулевой показатель: a^0 = 1 для любого ненулевого a. Выражения 0^(-n) и 0^0 смысла не имеют, потому что на ноль делить нельзя. Именно поэтому в определении всегда оговаривают условие, что основание степени не равно нулю.

Почему определение именно такое

Определение выбрано не случайно и не ради красоты. Оно подобрано так, чтобы сохранилось привычное правило деления степеней с одинаковым основанием. Если мы хотим, чтобы равенство a^m : a^k = a^(m-k) работало даже тогда, когда m меньше k, то неизбежно приходим к дроби. Например, a^2 : a^5 = a^(2-5) = a^(-3), а с другой стороны это же частное равно 1 / a^3. Сравнивая два выражения, мы и получаем формулу a^(-3) = 1/a^3. Точно так же из правила деления вытекает, что a^0 = 1: ведь a^m : a^m = a^0, а любое число, делённое само на себя, равно единице.

Свойства степеней сохраняются

Все знакомые правила действий со степенями остаются верными и для целых показателей — это и есть главное удобство нового определения.

Разбор примеров

Упростим выражения и запишем ответы без отрицательных показателей. Сначала простой случай умножения степеней одного основания: показатели складываются, и отрицательный показатель исчезает.

3^(-2) · 3^5 = 3^(-2+5) = 3^3 = 27

Теперь сумма степеней. Здесь складывать показатели нельзя — показатели складываются только при умножении одинаковых оснований, а у нас именно сложение, поэтому каждую степень считаем отдельно как обычную дробь.

2^(-1) + 2^(-2) = 1/2 + 1/4 = 3/4

Полезно помнить, что перенос множителя из знаменателя в числитель меняет знак показателя. Это позволяет быстро избавляться от дробей в буквенных выражениях, например x^(-3) · y^2 = y^2 / x^3.

Частые ошибки. Отрицательный показатель не делает число отрицательным: 5^(-2) = 1/25, а вовсе не -25. Нельзя складывать показатели при сложении степеней — только при умножении. И всегда помните про условие a ≠ 0: основание нулём быть не может.

Кратко о главном

• Степень с отрицательным показателем — это дробь: a^(-n) = 1/a^n при a ≠ 0.
• Нулевой показатель даёт единицу: a^0 = 1.
• Все свойства степеней (умножение, деление, степень степени, степень произведения) работают для любых целых показателей.
• Отрицательный показатель не превращает число в отрицательное; он лишь переводит множитель в знаменатель.