Сложение и вычитание квадратных корней
📐 Алгебра · 8 класс
Сложение и вычитание квадратных корней
Подобными радикалами называют слагаемые, у которых под знаком корня стоит одно и то же число. Складывать и вычитать можно только подобные радикалы — точно так же, как мы складываем подобные слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3√5 и 7√5 — подобные радикалы, а √5 и √7 — нет, потому что подкоренные числа у них разные. Это правило вытекает из распределительного закона: корень здесь играет роль общего множителя.
Основное правило
Чтобы сложить подобные радикалы, складывают их числовые коэффициенты, а сам корень оставляют без изменения: a√c + b√c = (a + b)√c. Точно так же действует и вычитание: a√c − b√c = (a − b)√c. Если коэффициент перед корнем не написан, он считается равным единице, поэтому √c + √c = 2√c, а не √c.
Запомните:√a + √bв общем случае не равно√(a + b). Это одна из самых частых ошибок. Проверьте на числах:√9 + √16 = 3 + 4 = 7, а√(9 + 16) = √25 = 5. Семь не равно пяти, значит, складывать подкоренные числа нельзя.
Когда корни выглядят разными
Иногда радикалы кажутся неподобными, но после вынесения множителя из-под знака корня становятся подобными. Поэтому первый шаг любого преобразования — упростить каждый корень: разложить подкоренное число на множители и вынести из-под корня всё, что является точным квадратом. Только после этого видно, какие слагаемые можно объединить.
| Выражение | Упрощение | Результат |
|---|---|---|
√8 + √2 | 2√2 + √2 | 3√2 |
√50 − √18 | 5√2 − 3√2 | 2√2 |
√12 + √27 | 2√3 + 3√3 | 5√3 |
√20 + √45 − √5 | 2√5 + 3√5 − √5 | 4√5 |
Порядок действий
- Разложить каждое подкоренное число на множители.
- Вынести из-под корня множители, являющиеся полными квадратами.
- Сгруппировать подобные радикалы.
- Сложить или вычесть коэффициенты подобных радикалов.
Разобранный пример
Упростим выражение √75 − √12 + √48.
√75 = √(25·3) = 5√3
√12 = √(4·3) = 2√3
√48 = √(16·3) = 4√3
Итог: 5√3 − 2√3 + 4√3 = 7√3Все три корня свелись к одному радикалу √3, после чего сложение и вычитание коэффициентов 5 − 2 + 4 дало результат 7√3. Заметьте, что неупрощённые корни √75, √12 и √48 на вид совершенно разные, и без предварительного упрощения объединить их было бы невозможно.
Частые ошибки. Складывают подкоренные числа вместо коэффициентов; забывают сперва упростить корни и потому не видят подобные радикалы; теряют знак при вычитании; считают, что у одиночного корня коэффициент равен нулю, а не единице. Всегда сначала выносите множители, а потом смотрите, какие радикалы подобны.
Кратко о главном
- Складывать и вычитать можно только подобные радикалы — с одинаковым подкоренным числом.
- Складываются коэффициенты, корень переписывается без изменения.
√a + √bне равно√(a + b).- Перед сложением каждый корень упрощают вынесением множителя.
- У одиночного корня коэффициент равен единице.