Квадратный корень из произведения и дроби

Свойства корня для произведения и дроби

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Чтобы быстро вычислять и упрощать корни без калькулятора, используют два важных свойства, связанных с произведением и частным. Они позволяют разбивать сложное подкоренное выражение на простые множители.

Корень из произведения

Свойство 1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней: √(a·b) = √a · √b, где a ≥ 0 и b ≥ 0.

Это свойство удобно, когда под корнем стоит число, которое можно разложить на множитель — точный квадрат и что-то ещё. Тогда корень из квадрата вычисляется точно, а остаток остаётся под знаком корня.

Корень из дроби

Свойство 2. Корень из дроби равен корню числителя, делённому на корень знаменателя: √(a/b) = √a / √b, где a ≥ 0 и b > 0.

Знаменатель здесь обязательно положителен: на ноль делить нельзя, а отрицательное число под корнем недопустимо.

Разбор примера

Упростим корень из 72, выделив наибольший точный квадрат среди его множителей:

Из-под корня выносят наибольший точный квадрат, который делит подкоренное число. Здесь это число 36, а оставшийся множитель 2 остаётся под корнем. Чем больше квадрат удаётся выделить, тем проще получается ответ.

Частые ошибки. Свойства верны только для неотрицательных чисел. Кроме того, корень из суммы НЕ равен сумме корней: √(a+b) ≠ √a + √b. Например, √(9+16) = √25 = 5, а сумма √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Это разные числа, и путать их нельзя.

Обратное применение

Эти свойства полезны и в обратную сторону: произведение корней можно собрать под один знак корня, а частное корней — записать как корень из дроби. Например, выражение √3 · √12 удобно объединить: √(3·12) = √36 = 6. По отдельности корни были иррациональными, а их произведение оказалось целым числом. Так свойства помогают увидеть скрытый точный результат там, где он не был заметен сразу.

Зачем это нужно

Свойства позволяют упрощать громоздкие корни, выносить множители из-под знака корня и сравнивать иррациональные числа без калькулятора. Они же лежат в основе освобождения от иррациональности и преобразования выражений с радикалами, которые встречаются дальше в курсе.

Кратко о главном

• Корень из произведения равен произведению корней.
• Корень из дроби равен частному корней.
• Свойства действуют для неотрицательных подкоренных выражений.
• Из-под корня выносят наибольший точный квадрат.
• Знаменатель под корнем должен быть положителен.
• Корень из суммы не равен сумме корней.