Возрастание и убывание функции
📐 Алгебра · 8 класс
Возрастание и убывание функции
Функцию называют возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Эти свойства вместе называют монотонностью, а промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, — промежутками монотонности.
Строгие определения
Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) < f(x₂). Функция убывает, если для любых x₁ < x₂ выполняется f(x₁) > f(x₂). Важно, что свойство проверяется на всём промежутке, а не в отдельных точках.
Как читать график
Если двигаться по графику слева направо, то участок, идущий вверх, соответствует возрастанию, а участок, идущий вниз, — убыванию. Точки, в которых поведение меняется, разделяют промежутки монотонности. У линейной функции монотонность одна на всю прямую, а у параболы — два разных промежутка.
| Функция | Поведение |
|---|---|
y = 2x + 1 | возрастает всюду |
y = −3x | убывает всюду |
y = x² | убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0 |
y = k/x при k > 0 | убывает на каждом луче |
Порядок определения для параболы
- Найти абсциссу вершины
x_в = −b/(2a). - Определить направление ветвей по знаку
a. - Если ветви вверх — слева убывание, справа возрастание; если вниз — наоборот.
Разобранный пример
Найдём промежутки монотонности параболы y = x² − 4x + 1.
Координата вершины: x_в = −b/(2a) = 4/2 = 2
Ветви вверх (a = 1 > 0)
Убывает при x ≤ 2
Возрастает при x ≥ 2В точке x = 2 функция достигает наименьшего значения и меняет убывание на возрастание. Слева от вершины график идёт вниз, справа — вверх.
Зачем нужна монотонность
Знание промежутков возрастания и убывания помогает сравнивать значения функции без вычислений. Если функция возрастает на промежутке, то из x₁ < x₂ сразу следует f(x₁) < f(x₂). Это удобно, например, при сравнении значений квадратичной функции в двух точках по одну сторону от вершины. Кроме того, монотонность тесно связана с поиском наибольшего и наименьшего значений: смена убывания на возрастание происходит как раз там, где функция достигает наименьшего значения.
Правило. Для параболы граница промежутков монотонности — это абсцисса вершины. При ветвях вверх слева убывание, справа возрастание; при ветвях вниз — наоборот.
Частые ошибки. Путают возрастание и убывание; читают график справа налево; забывают, что у параболы два промежутка монотонности, а не один.
Кратко о главном
- Возрастание — рост значений функции с ростом аргумента.
- Убывание — уменьшение значений функции с ростом аргумента.
- На графике возрастание идёт вверх, убывание — вниз слева направо.
- У параболы границей служит абсцисса вершины.