Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Средние величины

Для двух положительных чисел в математике вводят разные виды средних значений. Средним арифметическим чисел а и бэ называют половину их суммы: (a + b)/2. Средним геометрическим положительных чисел называют квадратный корень из их произведения: sqrt(a*b). Эти понятия важны и в алгебре, и в практических задачах — на проценты, скорости, темпы роста и пропорции. Каждое из средних отражает «усреднение» по-своему.

Сравнение средних

Между этими двумя средними существует знаменитое соотношение: для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического. Это одно из важнейших неравенств школьной алгебры.

Для неотрицательных чисел а и бэ верно неравенство (a + b)/2 >= sqrt(a*b), причём равенство достигается только тогда, когда a = b.

Это неравенство доказывают, опираясь на очевидный факт, что квадрат любого числа неотрицателен. Рассматривают выражение (sqrt(a) - sqrt(b))^2 >= 0. Раскрыв скобки и перенеся слагаемые, приходят как раз к нужному соотношению между средними.

Разобранный пример

Возьмём числа 2 и 8 и вычислим оба средних значения:

Действительно, 5 больше 4, что подтверждает общее неравенство. А если взять равные числа, например 4 и 4, то оба средних окажутся равны 4 — это тот самый случай равенства.

Где применяется

• Среднее арифметическое используют для оценки среднего значения, например средней оценки за четверть или средней температуры.
• Среднее геометрическое применяют для усреднения темпов роста и в геометрических пропорциях, где важно произведение, а не сумма.
• Неравенство о средних помогает находить наименьшее значение суммы при заданном произведении и делать различные оценки.

Геометрический смысл

У средних величин есть наглядное геометрическое истолкование. Если на отрезке отложить два числа как длины, то среднее арифметическое равно половине их суммы, а среднее геометрическое связано с построением прямоугольного треугольника. Неравенство о средних отражает тот факт, что среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Именно поэтому равенство средних достигается только при равных числах — то есть когда прямоугольник превращается в квадрат.

Частые ошибки. Вычисляют среднее геометрическое для отрицательных чисел, хотя оно определено только для неотрицательных. Путают, какое из средних больше. Забывают извлечь корень и оставляют в ответе само произведение вместо его корня.

Кратко о главном

• Среднее арифметическое двух чисел: (a + b)/2.
• Среднее геометрическое неотрицательных чисел: sqrt(a*b).
• Среднее арифметическое не меньше среднего геометрического.
• Равенство средних возможно только тогда, когда числа равны.