Теорема Виета для приведённого уравнения

Приведённое уравнение и теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице: x^2 + px + q = 0. Для него теорема Виета формулируется особенно просто: сумма корней равна -p, а произведение корней равно q. Эти соотношения позволяют находить корни устно, без вычисления дискриминанта, что экономит время на контрольных.

Формулировка

Если уравнение x^2 + px + q = 0 имеет корни x_1 и x_2, то выполняются равенства x_1 + x_2 = -p и x_1 · x_2 = q. Зная сумму и произведение, можно подобрать сами корни, перебирая делители свободного члена.

Уравнение	Сумма корней	Произведение
x^2 - 5x + 6 = 0	5	6
x^2 + x - 12 = 0	-1	-12
x^2 - 7x + 10 = 0	7	10
x^2 + 4x + 3 = 0	-4	3

Подбор корней

1. Запишите сумму -p и произведение q.
2. Подберите два числа с такой суммой и произведением.
3. Проверьте найденные числа подстановкой в уравнение.

Пример: для x^2 - 5x + 6 = 0 ищем числа с суммой 5 и произведением 6. Это 2 и 3. Значит, корни x_1 = 2, x_2 = 3. Если произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны; если произведение отрицательно, корни имеют разные знаки.

Где это полезно

Теорема Виета ускоряет решение, помогает проверить найденные корни и применяется при разложении трёхчлена на множители: x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2). Также по знакам суммы и произведения можно заранее предсказать знаки корней, не решая уравнение целиком.

Запомните: теорема Виета в простом виде работает только для приведённого уравнения. Если старший коэффициент не равен единице, сначала разделите всё уравнение на него. Частая ошибка — забыть про минус в сумме: сумма равна именно -p.

Составление уравнения по корням

Теорему Виета можно применять и в обратную сторону: по известным корням составить уравнение. Если корни равны 4 и -1, то их сумма равна 3, а произведение — -4. Значит, приведённое уравнение имеет вид x^2 - 3x - 4 = 0, ведь коэффициент p равен минус сумме корней, а q равен произведению.

Проверка решения

Теорема Виета удобна для проверки. Решив уравнение через дискриминант, можно сложить корни и перемножить их: если сумма равна -p, а произведение равно q, значит, корни найдены верно. Эта быстрая проверка экономит время и помогает поймать арифметические ошибки.

Когда корней нет

Если для приведённого уравнения не удаётся подобрать два числа с нужной суммой и произведением среди целых, это ещё не значит, что корней нет. Возможно, корни иррациональные, и тогда подбор не сработает. В таком случае возвращаются к дискриминанту и формуле корней. Подбор по теореме Виета хорош именно для уравнений с удобными целыми корнями.

Кратко о главном

• Приведённое уравнение имеет старший коэффициент единицу.
• Сумма корней равна -p, произведение — q.
• Корни удобно подбирать устно по делителям.
• Теорема помогает раскладывать трёхчлен на множители.
• По знакам можно предсказать знаки корней.