Сравнение значений выражений с корнями

Сравнение значений выражений с корнями

Сравнить два числа с квадратными корнями — значит понять, какое из них больше, не вычисляя их приближённо на калькуляторе. Это умение опирается на важное свойство: для неотрицательных чисел большему подкоренному числу соответствует больший корень. То есть если a > b ≥ 0, то √a > √b, и наоборот. Это свойство называют монотонностью квадратного корня.

Способ внесения множителя под корень

Чтобы сравнить выражения вида 3√2 и 2√5, удобно внести коэффициент под знак корня. Для этого множитель возводят в квадрат и заносят под корень: k√a = √(k²·a). После этого оба числа записаны как корни, и сравнение коэффициентов превращается в простое сравнение подкоренных чисел.

Так как 20 > 18, получаем √20 > √18, а значит, 2√5 > 3√2.

Сравнение корня с целым числом

Чтобы сравнить √7 и число 3, целое число тоже представляют как корень: 3 = √9. Так как 7 < 9, то √7 < 3. Этот же приём работает и для дробей: любое неотрицательное число можно записать как корень из его квадрата.

Сравнение суммы и разности корней

Иногда требуется сравнить с числом сумму или разность корней. Тогда сначала оценивают каждый корень между соседними целыми, а затем складывают границы. Например, чтобы сравнить √2 + √3 с числом 3, замечают, что √2 ≈ 1,41 и √3 ≈ 1,73, значит, их сумма около 3,14 — больше трёх. Такой способ грубой оценки часто достаточно надёжен, если корни заметно отличаются от границы сравнения.

Порядок действий

1. Привести оба выражения к виду одного корня, внеся множители под знак.
2. Если есть целое число, записать его как корень из квадрата.
3. Сравнить подкоренные числа.
4. Сделать вывод: больший корень — у большего подкоренного числа.

Разобранный пример

Что больше: 5 или 2√6?

Правило. Чтобы сравнить два неотрицательных выражения с корнями, приводите их к одному корню (вносите множители под знак корня) и сравнивайте подкоренные числа. Большему подкоренному числу соответствует большее значение.

Частые ошибки. Вносят множитель под корень без возведения в квадрат, например пишут 3√2 = √6 вместо √18; пытаются сравнивать корни от отрицательных чисел; забывают, что свойство монотонности работает только для неотрицательных значений.

Кратко о главном

• Большему подкоренному числу соответствует больший корень.
• Множитель вносят под корень, возводя его в квадрат.
• Целое число для сравнения записывают как корень из квадрата.
• Все приёмы справедливы только для неотрицательных чисел.