Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема Виета

Прямая теорема Виета позволяет по корням приведённого квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 найти его коэффициенты: сумма корней равна -p, а произведение корней равно q. Обратная теорема Виета работает в другую сторону: если два числа в сумме дают -p, а в произведении дают q, то эти числа являются корнями уравнения x^2 + px + q = 0. Именно обратная теорема чаще всего применяется на практике для устного подбора корней.

Формулировка

Если числа икс-один и икс-два таковы, что x_1 + x_2 = -p и одновременно x_1 * x_2 = q, то они являются корнями уравнения x^2 + px + q = 0.

Эта теорема даёт быстрый способ подбора корней без вычисления дискриминанта, особенно когда корни оказываются целыми числами. Важно помнить: теорема применима только к приведённому уравнению, у которого старший коэффициент равен единице. Если он другой, уравнение сначала делят на него.

Разобранный пример

Решим уравнение x^2 - 5x + 6 = 0 подбором. По обратной теореме сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Ищем два числа с такими свойствами:

Числа 2 и 3 подходят под оба условия, значит, это и есть корни уравнения. Проверку легко сделать устно, подставив значения в исходное уравнение.

Как удобно подбирать корни

• Разложите свободный член q на пары множителей.
• Подберите ту пару, которая в сумме даёт -p.
• Учтите знаки: если q > 0, оба корня имеют одинаковый знак; если q < 0, корни разных знаков.
• Знак суммы подскажет, какой из знаков преобладает.

Составление уравнения по корням

Обратную теорему удобно применять и в противоположную сторону: чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями. Например, для корней 4 и −1 считаем их сумму 4 + (-1) = 3 и произведение 4 * (-1) = -4. Тогда p = -3, q = -4, и получаем уравнение x^2 - 3x - 4 = 0. Этот приём помогает быстро придумывать уравнения с нужными ответами и часто используется при составлении задач.

Частые ошибки. Забывают, что сумма корней равна -p, а не самому p. Путают знаки при отрицательном свободном члене. Применяют теорему к неприведённому уравнению, не разделив его предварительно на старший коэффициент.

Кратко о главном

• Обратная теорема Виета: два числа с суммой -p и произведением q — корни уравнения x^2 + px + q = 0.
• Метод позволяет подбирать целые корни без дискриминанта.
• Знак произведения подсказывает, одинаковые или разные знаки у корней.
• По известным корням легко составить квадратное уравнение.