Решение задач с помощью квадратных уравнений
📐 Алгебра · 8 класс
Как задачи приводят к квадратным уравнениям
Многие практические задачи решаются с помощью уравнений. Если при составлении уравнения неизвестное оказывается во второй степени, получается квадратное уравнение. Такие задачи встречаются в темах о движении, работе, площадях фигур и свойствах чисел. Умение переводить условие на язык уравнения называют математическим моделированием — это один из главных навыков курса алгебры.
Общий план решения
- Обозначить неизвестную величину буквой.
- Выразить через неё остальные величины по условию.
- Составить уравнение, опираясь на связь между величинами.
- Решить уравнение через дискриминант.
- Отбросить посторонние корни и записать ответ.
Полезные соотношения
| Тип задачи | Основная формула |
|---|---|
| Движение | Путь равен скорость умножить на время |
| Работа | Работа равна производительность умножить на время |
| Прямоугольник | Площадь равна длина умножить на ширину |
| Числа | Связь между числом и его квадратом |
Разобранный пример с площадью
Площадь прямоугольника равна 60 квадратных сантиметров. Длина больше ширины на 7 сантиметров. Найдём стороны.
Пусть ширина равна x сантиметров, тогда длина равна x + 7. Составляем уравнение по формуле площади:
x*(x + 7) = 60
Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
x^2 + 7*x - 60 = 0
Считаем дискриминант:
D = 49 + 240 = 289, sqrt(D) = 17
x1 = (-7 + 17)/2 = 5, x2 = (-7 - 17)/2 = -12
Длина не может быть отрицательной, поэтому x2 = -12 отбрасываем. Ширина равна 5 сантиметров, длина равна 12 сантиметров.
Разобранный пример с числами
Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156. Найдём эти числа.
Пусть меньшее число равно n, тогда следующее равно n + 1. По условию:
n*(n + 1) = 156
Приводим к стандартному виду и решаем:
n^2 + n - 156 = 0
D = 1 + 624 = 625, sqrt(D) = 25
n1 = (-1 + 25)/2 = 12, n2 = (-1 - 25)/2 = -13
По смыслу задачи число натуральное, поэтому n2 не подходит. Искомые числа — 12 и 13.
Разобранный пример на движение
Катер прошёл 30 километров по течению и вернулся обратно, затратив на весь путь 8 часов. Скорость течения равна 1 километр в час. Найдём собственную скорость катера.
Пусть собственная скорость равна x километров в час. По течению катер плывёт со скоростью x + 1, против течения — со скоростью x - 1. Время равно расстоянию, делённому на скорость, поэтому:
30/(x + 1) + 30/(x - 1) = 8
После приведения к общему знаменателю и преобразований получается квадратное уравнение, корнями которого будут положительное и отрицательное число. Отрицательный корень отбрасываем, ведь скорость не бывает отрицательной, и записываем разумный ответ. Этот пример показывает, что задачи на движение по реке тоже сводятся к квадратным уравнениям.
Частые ошибки. Нельзя забывать проверять корни на смысл задачи: длина, время и скорость должны быть положительными, а количество предметов — натуральным числом. Иногда теряют один из корней или не приводят уравнение к виду с нулём в правой части.
Кратко о главном
- Неизвестное во второй степени даёт квадратное уравнение.
- Сначала обозначаем переменную и составляем уравнение.
- Решаем его через дискриминант.
- Отбрасываем корни, не подходящие по смыслу задачи.