Рациональные и иррациональные числа

Рациональные и иррациональные числа

В 8 классе расширяют представление о числах. Рациональным называют число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Иррациональным называют число, которое нельзя представить такой дробью. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которым соответствуют все точки координатной прямой.

Признак по десятичной записи

Рациональные числа записываются либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной, но обязательно периодической. Иррациональные числа записываются бесконечной непериодической дробью, у которой нет повторяющейся группы цифр. Именно по характеру десятичной записи удобно различать эти два вида чисел.

Когда корень иррационален

Квадратный корень из натурального числа является рациональным только тогда, когда подкоренное число — точный квадрат. Например, √9 = 3 рационально, а √3 иррационально. Поэтому, встретив корень, прежде всего проверяют, не является ли подкоренное число квадратом целого.

Действия с числами разных видов

Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел снова дают рациональное число. А вот при действиях с иррациональными числами результат может оказаться любым: например, √2 · √2 = 2 — рациональное, хотя множители иррациональны. Поэтому нельзя считать, что произведение иррациональных чисел всегда иррационально. Зато сумма рационального и иррационального числа, как и произведение ненулевого рационального на иррациональное, всегда остаётся иррациональной.

Порядок распознавания

1. Если число — обыкновенная или конечная десятичная дробь, оно рациональное.
2. Если десятичная дробь бесконечная периодическая, число рациональное.
3. Если корень из точного квадрата — число рациональное.
4. В остальных случаях (бесконечная непериодическая дробь) число иррациональное.

Разобранный пример

Определим тип чисел √16, √20 и 0,(6).

Правило. Если число можно записать обыкновенной дробью или периодической десятичной дробью — оно рациональное. Бесконечная непериодическая десятичная дробь — верный признак иррационального числа.

Частые ошибки. Считают любой корень иррациональным, забывая про точные квадраты; путают периодическую дробь с непериодической; относят число π к рациональным из-за приближённого значения 3,14.

Кратко о главном

• Рациональное число представимо дробью m/n.
• Иррациональное число такой дробью представить нельзя.
• Периодическая десятичная дробь — это рациональное число.
• Корень из натурального числа рационален лишь при точном квадрате.