Основное свойство рациональной дроби

Что такое основное свойство дроби

Рациональная дробь — это выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены, причём знаменатель Q не равен нулю. С такими дробями приходится складывать, вычитать, умножать и сокращать, и почти все эти действия опираются на одно главное правило, которое называют основным свойством дроби. Без него невозможно ни привести дроби к общему знаменателю, ни упростить громоздкое выражение.

Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение — значение дроби при этом не изменится: P/Q = (P·R)/(Q·R), если R ≠ 0.

Откуда оно берётся

Это свойство — прямое продолжение знакомого правила из арифметики. Обычные числовые дроби тоже не меняются, если их числитель и знаменатель умножить на одинаковое число: 1/2 = 2/4 = 3/6. Все эти записи означают одно и то же число — половину. Для алгебраических дробей всё устроено точно так же, только вместо чисел стоят многочлены, а вместо конкретного множителя — буквенное выражение R.

Смысл свойства в том, что мы умножаем дробь на единицу, записанную в виде R/R. Умножение на единицу не меняет величину, поэтому и дробь остаётся равной самой себе, хотя внешне выглядит иначе.

Два направления применения

Свойство работает в обе стороны и решает две противоположные задачи. Если множитель R добавляют, дробь усложняется, а если убирают — упрощается.

Разбор примера

Приведём дробь к знаменателю (x-3)(x+1). Для этого нужно домножить числитель и знаменатель на недостающий множитель (x+1):

Мы домножили и верх, и низ на одно и то же выражение, поэтому значение дроби сохранилось, а знаменатель стал нужным. Точно так же действуют, когда нужно сократить дробь: находят общий множитель числителя и знаменателя и делят на него обе части.

Частая ошибка. Нельзя умножать на выражение, которое может обратиться в ноль. Если R = 0, равенство теряет смысл, ведь делить на ноль запрещено. Поэтому, преобразуя дробь с переменной, всегда следят за областью допустимых значений.

Связь с областью значений

При преобразованиях важно помнить: исходные ограничения на переменную сохраняются. Например, в дроби 2/(x-3) значение x = 3 запрещено и до, и после преобразования, потому что при нём знаменатель равен нулю. Даже если после упрощения опасный множитель внешне исчез, ограничение всё равно действует. Это особенно важно при решении уравнений, чтобы не получить посторонний корень.

Кратко о главном

• Основное свойство: P/Q = (P·R)/(Q·R) при R ≠ 0.
• Оно равносильно умножению дроби на единицу вида R/R.
• Умножение числителя и знаменателя приводит дробь к общему знаменателю.
• Деление их на общий множитель сокращает дробь.
• Множитель R не должен обращаться в ноль.
• Область допустимых значений переменной остаётся прежней.