Сокращение рациональных дробей
📐 Алгебра · 8 класс
Что значит сократить рациональную дробь
Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, выражения 5 / (x + 2), (x^2 - 1) / x и (a + b) / (a - b) — это рациональные дроби. Сократить дробь значит разделить её числитель и знаменатель на их общий множитель. При этом значение дроби не меняется, но выражение становится проще, и с ним удобнее работать дальше. Сокращение возможно только тогда, когда числитель и знаменатель представлены в виде произведения множителей.
Главное правило, на котором держится сокращение, называют основным свойством дроби:
Дробь не меняет своего значения, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число или выражение, не равное нулю.
Область допустимых значений
Прежде чем работать с дробью, важно понять, при каких значениях переменной она вообще имеет смысл. Область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) — это все значения переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль, ведь делить на ноль нельзя. ОДЗ определяют по исходной дроби, до сокращения, и сохраняют в ответе.
Порядок действий
- Найти область допустимых значений по исходному знаменателю.
- Разложить числитель на множители.
- Разложить знаменатель на множители.
- Найти одинаковые множители и сократить их.
- Записать полученную дробь вместе с ограничениями.
Какие приёмы разложения используют
| Приём | Когда применяют | Пример |
|---|---|---|
| Вынесение общего множителя | В каждом слагаемом есть общая часть | 2x + 6 = 2(x + 3) |
| Разность квадратов | Выражение вида квадрат минус квадрат | x^2 - 4 = (x-2)(x+2) |
| Квадрат суммы или разности | Три слагаемых, крайние — квадраты | x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 |
| Разложение трёхчлена через корни | В дроби квадратный трёхчлен | a*(x - x1)(x - x2) |
Разобранный пример
Сократим дробь:
(x^2 - 9) / (x^2 + 3x)
Сначала находим ОДЗ. Знаменатель x^2 + 3x = x(x + 3) равен нулю при x = 0 и x = -3, поэтому эти значения исключаем. Теперь раскладываем числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель — вынесением общего множителя:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
x^2 + 3x = x(x + 3)
Получаем:
(x - 3)(x + 3) / [x(x + 3)] = (x - 3) / x
Здесь мы сократили общий множитель (x + 3). Итоговый ответ записываем с ограничениями: (x - 3) / x при x != 0 и x != -3.
Ещё один пример
Сократим дробь (x^2 + 6x + 9) / (x^2 - 9). В числителе — квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
После сокращения общего множителя (x + 3) остаётся:
(x + 3) / (x - 3) при x != 3 и x != -3.
Частые ошибки. Нельзя сокращать слагаемые — сокращают только множители. Запись вида(x + 2) / (x + 5)сократить наxнельзя, потому что x здесь не множитель, а часть суммы. Также важно не терять ограничения на переменную после сокращения: дробь и её сокращённый вид равны лишь на исходной области допустимых значений.
Кратко о главном
- Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на общий множитель.
- Сначала находим область допустимых значений, потом раскладываем на множители и сокращаем.
- Сокращают только множители, но не слагаемые.
- Всегда указываем значения, при которых знаменатель не равен нулю.