Свойства степени с целым показателем
📐 Алгебра · 8 класс
Свойства степени с целым показателем
В 8 классе понятие степени расширяется. Раньше показатель был только натуральным, а теперь им может быть и ноль, и отрицательное целое число. При этом все привычные свойства действий со степенями сохраняются, и это позволяет работать с ними так же удобно, как и раньше.
Определения для новых случаев
Определения. Для основанияa ≠ 0принимаютa^0 = 1иa^(-n) = 1/a^n. То есть степень с отрицательным показателем — это дробь, обратная степени с положительным показателем.
Эти определения вводят не случайно: их выбирают так, чтобы продолжали выполняться все правила действий со степенями. Например, равенство a^0 = 1 следует из правила деления одинаковых степеней a^m : a^m = a^0.
Основные свойства
Для любых целых показателей m и n и ненулевого основания справедливы следующие правила.
| Действие | Правило |
|---|---|
| Умножение степеней | a^m · a^n = a^(m+n) |
| Деление степеней | a^m : a^n = a^(m-n) |
| Степень степени | (a^m)^n = a^(m·n) |
| Степень произведения | (a·b)^n = a^n · b^n |
| Степень дроби | (a/b)^n = a^n / b^n |
Разбор примера
Применим свойства к выражениям с отрицательными показателями:
2^(-3) · 2^5 = 2^(-3+5) = 2^2 = 4
(3^2)^(-1) = 3^(-2) = 1/9В первом примере складываем показатели по правилу умножения степеней, и в результате отрицательный показатель исчезает. Во втором — перемножаем показатели по правилу степени степени, получаем отрицательный показатель и переходим к обычной дроби.
Частые ошибки. Считают, чтоa^(-n)— это отрицательное число. На самом деле знак минус относится только к показателю, а сама степень при положительном основании остаётся положительной. Также нельзя забывать условиеa ≠ 0: при нулевом основании отрицательная степень и нулевая степень не определены.
Перенос множителя через дробную черту
Из определения отрицательной степени вытекает удобное правило: множитель можно переносить из числителя в знаменатель и обратно, меняя знак его показателя. Например, a^(-2) = 1/a^2, а 1/b^(-3) = b^3. Этим приёмом часто пользуются, чтобы избавиться от отрицательных показателей в ответе и записать выражение в более привычном виде. При переносе важно менять знак только у показателя того множителя, который переносят, не трогая остальные.
Зачем это нужно
Целые показатели позволяют компактно записывать очень большие и очень маленькие числа в стандартном виде, а также удобно преобразовывать дробные выражения. Без них было бы невозможно работать со стандартным видом числа, который активно используется в физике и других науках.
Кратко о главном
a^0 = 1иa^(-n) = 1/a^nприa ≠ 0.- При умножении степеней показатели складывают.
- При делении степеней показатели вычитают.
- При возведении степени в степень показатели перемножают.
- Отрицательный показатель не делает степень отрицательной.
- Все правила требуют ненулевого основания.