Задачи на совместную работу через квадратные уравнения
📐 Алгебра · 8 класс
Задачи на совместную работу через квадратные уравнения
В задачах о работе обычно неизвестно время, за которое объект — рабочий, труба, насос или бригада — выполняет всю работу. Чтобы решать такие задачи, всю работу принимают за единицу, а производительность определяют как часть работы, выполняемую за единицу времени. Когда по условию связаны разные времена работы, составленное уравнение часто оказывается квадратным.
Основные соотношения
Если объект выполняет всю работу за t единиц времени, то его производительность равна 1/t. При совместной работе производительности складываются, ведь за единицу времени объекты вместе делают сумму своих частей работы.
| Величина | Обозначение | Формула |
|---|---|---|
| Вся работа | A | 1 |
| Производительность | p | 1/t |
| Совместная производительность | p_общ | 1/t₁ + 1/t₂ |
| Время совместной работы | t_общ | 1 : p_общ |
Порядок действий
- Обозначить неизвестное время буквой и выразить через него остальные времена.
- Записать производительности как
1/tдля каждого объекта. - Составить уравнение по условию (обычно сумма производительностей).
- Решить квадратное уравнение и отбросить посторонние корни.
Разобранный пример
Первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее второй. Вместе они наполняют бассейн за 6 часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?
Пусть вторая труба наполняет за x часов, первая — за (x − 5).
1/(x−5) + 1/x = 1/6
6x + 6(x−5) = x(x−5)
12x − 30 = x² − 5x
x² − 17x + 30 = 0
D = 289 − 120 = 169, √D = 13
x = (17 ± 13)/2 → x = 15 или x = 2Корень x = 2 не подходит: тогда первая труба наполняла бы бассейн за 2 − 5 = −3 часа, а отрицательного времени не бывает. Значит, вторая труба наполнит бассейн за 15 часов, а первая — за 10 часов.
Проверка ответа
Найденный ответ полезно проверить подстановкой. Производительность первой трубы — 1/10 бассейна в час, второй — 1/15. Их сумма равна 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 бассейна в час. Значит, вместе они наполнят весь бассейн ровно за 6 часов, что совпадает с условием. Такая проверка почти всегда выявляет арифметическую ошибку, если она была допущена при решении уравнения.
Правило. Всю работу удобно принять за единицу. Тогда производительность — это 1/t, а уравнение составляют по сумме производительностей при совместной работе.Частые ошибки. Складывают времена вместо производительностей; забывают проверить корни по смыслу задачи; принимают за ответ отрицательное значение или такое, при котором другое время становится отрицательным.
Кратко о главном
- Вся работа равна единице, производительность —
1/t. - При совместной работе производительности складываются.
- Связь времён часто приводит к квадратному уравнению.
- Корни обязательно проверяют по смыслу задачи.