Приведённое квадратное уравнение

Приведённое квадратное уравнение

Приведённым называют квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен единице: x^2 + px + q = 0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым, разделив обе части на старший коэффициент. Для приведённого уравнения существуют особенно удобная формула корней и простая запись теоремы Виета.

Как привести уравнение

Если дано общее уравнение ax^2 + bx + c = 0 при a ≠ 0, делим все его части на a и получаем x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0. Здесь новые коэффициенты обозначают буквами: p = b/a и q = c/a. После такого деления старший коэффициент становится равным единице, и уравнение приобретает удобный вид.

Формула корней

Формула. Корни приведённого уравнения находят так: x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q).

Эта запись короче общей: не нужно отдельно вычислять дискриминант через b^2-4ac, потому что роль старшего коэффициента уже учтена. Достаточно взять половину коэффициента p, возвести её в квадрат и вычесть свободный член q.

Разбор примера

Решим приведённое уравнение по формуле:

Здесь половина коэффициента p равна 3 с учётом знака минус перед ней, под корнем получается 9 - 8 = 1, поэтому корни равны 4 и 2. Подстановка обоих значений в исходное уравнение подтверждает ответ.

Частые ошибки. Забывают про минус перед p/2 и берут половину коэффициента без изменения знака. Также путают q со свободным членом исходного, ещё не приведённого уравнения. Поэтому сначала обязательно делят всё на старший коэффициент и только потом подставляют значения в формулу.

Подбор корней по теореме Виета

Часто приведённое уравнение решают вообще без формулы, просто подбирая корни. Нужно найти два числа, сумма которых равна -p, а произведение равно q. Для уравнения x^2 - 5x + 6 = 0 ищут числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3. Подбор удобен, когда корни целые и небольшие. Если же подобрать не удаётся, всегда остаётся точная формула корней. Полезно сначала смотреть на знак произведения q: если он положителен, корни одного знака, а если отрицателен — разных знаков. Это сразу сужает перебор и ускоряет подбор.

Связь с теоремой Виета

Именно для приведённого уравнения теорема Виета формулируется проще всего: сумма корней равна -p, а произведение корней равно q. Это помогает быстро подбирать целые корни и проверять найденный ответ без громоздких вычислений.

Кратко о главном

• Приведённое уравнение имеет вид x^2 + px + q = 0.
• Любое квадратное уравнение приводят делением на старший коэффициент.
• Корни: x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q).
• Сумма корней равна -p, произведение — q.
• Нельзя забывать минус перед p/2.
• Свободный член q берут уже у приведённого уравнения.