Уравнения, сводящиеся к квадратным
📐 Алгебра · 8 класс
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Многие уравнения на первый взгляд не похожи на квадратные, но с помощью замены переменной их можно превратить в обычное квадратное уравнение. Идея проста: повторяющееся выражение обозначают новой буквой, решают квадратное уравнение относительно этой буквы, а затем возвращаются к исходной переменной. Этот приём — один из самых универсальных в алгебре, и в 8 классе с него начинается знакомство с заменой.
Метод замены
Если в уравнении встречается одно и то же выражение в разных степенях, его обозначают через t. Тогда уравнение становится квадратным относительно t, и его решают по дискриминанту или по теореме Виета. Важно правильно увидеть, какое именно выражение повторяется.
| Исходное уравнение | Замена | Новое уравнение |
|---|---|---|
x⁴ − 5x² + 4 = 0 | t = x² | t² − 5t + 4 = 0 |
(x²−x)² − 8(x²−x) + 12 = 0 | t = x²−x | t² − 8t + 12 = 0 |
(2x+1)² − 3(2x+1) − 4 = 0 | t = 2x+1 | t² − 3t − 4 = 0 |
Порядок действий
- Найти повторяющееся выражение и ввести замену.
- При необходимости отметить ограничения на новую переменную (например,
t = x² ≥ 0). - Решить полученное квадратное уравнение относительно новой переменной.
- Вернуться к исходной переменной и решить оставшиеся уравнения.
- Записать все найденные корни.
Разобранный пример
Решим (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8 = 0.
Пусть t = x² + 3x.
t² − 2t − 8 = 0
D = 4 + 32 = 36, t = (2 ± 6)/2
t₁ = 4, t₂ = −2
x² + 3x = 4 → x² + 3x − 4 = 0 → x = 1; x = −4
x² + 3x = −2 → x² + 3x + 2 = 0 → x = −1; x = −2Получили четыре корня: 1; −4; −1; −2. Обратите внимание, что одно квадратное уравнение относительно t породило два квадратных уравнения относительно x, и каждое дало свои корни.
Биквадратные уравнения как частный случай
Особенно часто замена применяется к уравнениям вида ax⁴ + bx² + c = 0. Здесь полагают t = x² и помнят об ограничении t ≥ 0, ведь квадрат любого числа неотрицателен. Если корень t оказался отрицательным, его отбрасывают: уравнение x² = t при отрицательном t решений не имеет. Поэтому биквадратное уравнение может иметь четыре, два или вовсе ни одного корня в зависимости от значений t.
Правило. После решения уравнения относительноtобязательно возвращайтесь к исходной переменной — найденные значенияtсами по себе ответом не являются.
Частые ошибки. Останавливаются на корнях дляtи забывают вернуться кx; теряют часть корней; не проверяют ограничения замены, например оставляют отрицательное значение, когдаt = x²не может быть отрицательным.
Кратко о главном
- Повторяющееся выражение заменяют новой переменной.
- Уравнение становится квадратным относительно замены.
- После решения возвращаются к исходной переменной.
- Если замена неотрицательна, отрицательные значения отбрасывают.