Задачи на проценты и концентрацию

Проценты и концентрация

Процент — это одна сотая часть величины. В задачах на растворы важно понятие концентрации — доли вещества в смеси, выраженной в процентах. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь находить количество чистого вещества и связывать его с массой всего раствора. Эти задачи часто встречаются на экзаменах и хорошо тренируют умение составлять уравнения.

Основные формулы

Количество вещества равно произведению массы раствора на концентрацию, делённую на сто. Если концентрация p процентов, то масса вещества равна m · p/100. При смешивании растворов складывают и массы растворов, и массы чистого вещества. На этом и строится уравнение задачи.

Величина	Обозначение	Связь
Масса раствора	m	дано или искомо
Концентрация	p %	доля вещества
Масса вещества	m_1	m · p/100

Разбор задачи

Смешали 200 г раствора с концентрацией 10 % и 300 г раствора с концентрацией 20 %. Найдём концентрацию полученной смеси.

1. Вещества в первом растворе: 200 · 10/100 = 20 г.
2. Вещества во втором растворе: 300 · 20/100 = 60 г.
3. Всего вещества: 20 + 60 = 80 г.
4. Масса смеси: 200 + 300 = 500 г.
5. Концентрация смеси: 80/500 · 100 = 16 %.

Ответ: концентрация смеси равна 16 процентам. Полезно убедиться, что результат лежит между 10 и 20 процентами, — так и должно быть при смешивании.

Полезный приём

Удобно сводить данные в таблицу с тремя столбцами: масса раствора, концентрация и масса вещества. Тогда уравнение составляется почти автоматически по строке «вещество». Если какая-то величина неизвестна, её обозначают буквой и записывают через неё остальные данные.

Частая ошибка — складывать сами проценты. Нельзя сложить 10 % и 20 % и поделить пополам, если массы растворов разные. Складывают именно массы чистого вещества, а потом делят на общую массу.

Задача с неизвестной массой

Сколько граммов воды нужно добавить к 50 г раствора с концентрацией 40 %, чтобы концентрация стала 10 %? Масса вещества не меняется и равна 50 · 40/100 = 20 г. Пусть добавили x граммов воды. Тогда новая масса раствора равна 50 + x, а концентрация равна 20/(50 + x) · 100 = 10. Отсюда 50 + x = 200, значит x = 150 г воды.

Три основные задачи на проценты

Все задачи на проценты делятся на три типа: найти процент от числа, найти число по его проценту и узнать, сколько процентов одно число составляет от другого. Зная формулу связи массы вещества, концентрации и массы раствора, легко справиться с каждым из этих типов.

Кратко о главном

• Процент — сотая часть величины.
• Масса вещества равна m · p/100.
• При смешивании складывают массы вещества, а не проценты.
• Данные удобно записывать в таблицу.
• Результат проверяют на разумность.