Выделение полного квадрата из трёхчлена

Что значит выделить полный квадрат

Выделение полного квадрата — это преобразование квадратного трёхчлена ax^2 + bx + c к виду a(x + m)^2 + n, то есть к сумме полного квадрата и числа. Этот приём опирается на формулу квадрата суммы (p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 и читается «в обратную сторону»: имея первые два слагаемых, мы достраиваем недостающий третий член. Полным квадратом называют выражение, которое можно записать как квадрат некоторого двучлена.

Приём важен сразу по нескольким причинам. Во-первых, именно так выводится формула корней квадратного уравнения. Во-вторых, выделение полного квадрата помогает находить вершину параболы и решать задачи на наибольшее и наименьшее значение функции. В-третьих, этот навык пригодится в старших классах при работе с окружностью и другими кривыми, заданными уравнениями.

Как достроить квадрат

Рассмотрим выражение x^2 + bx. Чтобы получился полный квадрат, надо прибавить и вычесть квадрат половины коэффициента при икс. Логика проста: в формуле (x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2 удвоенное произведение равно 2mx, значит эм — это половина коэффициента при икс, а недостающее слагаемое — это m^2.

Берём половину коэффициента при x, возводим её в квадрат, прибавляем и сразу же вычитаем это число — значение выражения от этого не меняется, ведь мы прибавили и отняли одно и то же.

Формально: x^2 + bx = (x + b/2)^2 - (b/2)^2. Число (b/2)^2 называют дополнением до полного квадрата. После такого преобразования первая часть — это точный квадрат двучлена, а вторая — обычное число.

Разобранный пример

Преобразуем трёхчлен x^2 + 6x + 5. Половина коэффициента при икс равна 3, её квадрат равен 9. Прибавим 9 внутри и вычтем снаружи:

Получили вид (x + 3)^2 - 4. Теперь сразу видно, что наименьшее значение трёхчлена равно −4 и достигается при x = -3, ведь квадрат не бывает отрицательным.

Случай со старшим коэффициентом

Если перед x^2 стоит множитель, отличный от единицы, его сначала выносят за скобку у первых двух слагаемых. Например, для трёхчлена 2x^2 - 8x + 1 выносим двойку:

Здесь важно не потерять множитель при раскрытии скобок: число −4 умножается на двойку и даёт −8, а затем складывается с единицей.

Зачем это нужно на практике

Когда трёхчлен записан в виде (x + m)^2 + n, сразу видно его наименьшее или наибольшее значение. Если перед квадратом стоит положительное число, наименьшее значение равно эн и достигается при x = -m. Если множитель отрицательный, то в той же точке достигается наибольшее значение. Это и есть способ находить вершину параболы без отдельных формул, опираясь только на свойство квадрата.

Частые ошибки. Забывают вычесть прибавленное число — тогда выражение меняется по величине. Берут не половину коэффициента, а сам коэффициент. Теряют знак или множитель при старшем коэффициенте, вынося его за скобку. Путают знак числа эм в скобке: если в трёхчлене стоит минус, то в квадрате тоже минус.

Кратко о главном

• Выделить полный квадрат — значит привести трёхчлен к виду a(x + m)^2 + n.
• Прибавляют и вычитают квадрат половины коэффициента при икс.
• Старший коэффициент сначала выносят за скобку у первых двух слагаемых.
• Приём помогает находить вершину параболы и наибольшее или наименьшее значение функции.