Системы линейных неравенств с одной переменной
📐 Алгебра · 8 класс
Система линейных неравенств
Системой неравенств называют несколько неравенств, для которых нужно найти общие решения — значения переменной, удовлетворяющие каждому неравенству одновременно. Решить систему — значит найти пересечение множеств решений всех входящих в неё неравенств. В системе неравенства принято записывать одно под другим и объединять фигурной скобкой, что означает требование выполнить их все сразу.
Порядок решения
- Решить каждое линейное неравенство по отдельности и записать его решение.
- Изобразить полученные промежутки на одной общей числовой прямой.
- Найти их пересечение — ту часть прямой, которая принадлежит всем промежуткам.
- Записать ответ числовым промежутком, обращая внимание на тип скобок.
Ключевое слово для системы — «и»: решение должно подходить и первому, и второму неравенству одновременно. Поэтому в ответ берут именно пересечение промежутков, а не их объединение.
Разобранный пример
Решим систему из двух неравенств: 2x - 4 > 0 и x - 5 < 0. Решаем каждое неравенство отдельно:
2x - 4 > 0 => x > 2; x - 5 < 0 => x < 5Первое неравенство выполняется при икс больше 2, второе — при икс меньше 5. Оба условия выполняются одновременно при 2 < x < 5. Значит, ответ — промежуток (2; 5).
Когда решений нет
Если промежутки решений отдельных неравенств не пересекаются, то система не имеет решений. Например, для неравенств x > 6 и x < 1 нет ни одного числа, которое было бы одновременно больше 6 и меньше 1. В таком случае ответ — пустое множество.
| Первое | Второе | Пересечение |
|---|---|---|
x > 0 | x < 8 | (0; 8) |
x >= 3 | x <= 3 | x = 3 |
x > 5 | x < 2 | нет решений |
x >= -1 | x < 4 | [-1; 4) |
Совет по оформлению
Чтобы не ошибиться при поиске пересечения, удобно отмечать на числовой прямой решение каждого неравенства своей штриховкой. В ответ берут тот участок, где штриховки накладываются друг на друга. Этот наглядный способ особенно помогает, когда неравенств в системе три и более.
Системы в задачах
Системы линейных неравенств возникают не сами по себе, а в практических задачах, где на величину наложено несколько условий сразу. Например, требуется найти количество товара, которое одновременно не меньше некоторого минимума и не больше вместимости склада. Каждое условие переводят в неравенство, а затем решают полученную систему. Ответом служит промежуток допустимых значений, и из него выбирают подходящие целые числа, если речь идёт о штучных предметах.
Частые ошибки. Берут объединение промежутков вместо пересечения. Забывают менять знак неравенства при делении или умножении на отрицательное число. Неверно отмечают граничные точки, путая строгие и нестрогие знаки.
Кратко о главном
- Решение системы неравенств — пересечение решений всех неравенств.
- Каждое неравенство решают отдельно, затем сводят результаты на одной прямой.
- Если промежутки не пересекаются, система решений не имеет.
- При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.