Тождество корня из квадрата (модуль)

Чему равен корень из квадрата

На первый взгляд кажется очевидным, что корень из квадрата числа равен самому числу. Но это верно не всегда. Дело в том, что арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, а число, которое возводили в квадрат, могло быть и отрицательным. Поэтому нужно особое тождество, которое учитывает знак.

Основное тождество

Тождество. Для любого числа a справедливо √(a^2) = |a| — корень из квадрата равен модулю числа.

Если a ≥ 0, то |a| = a, и корень действительно равен самому числу. Если же a < 0, то |a| = -a, то есть результат равен противоположному числу и всё равно остаётся положительным. Квадрат «стирает» знак числа, и корень не может его восстановить, поэтому и появляется модуль. По сути модуль здесь играет роль «защиты»: он гарантирует, что значение корня окажется неотрицательным при любом исходном числе, как и требует определение арифметического корня.

Разбор примера

Упростим корень из квадрата выражения с переменной:

Раскрыть модуль можно только зная знак выражения под ним. Если по условию x ≥ 7, то разность x-7 неотрицательна, и |x-7| = x-7. Если же x < 7, то разность отрицательна, и |x-7| = 7-x. Без сведений о знаке выражения модуль так и оставляют, потому что раскрыть его однозначно нельзя. Поэтому в подобных заданиях всегда обращают внимание на дополнительное условие об области значений переменной: именно оно подсказывает, какой знак имеет выражение под модулем и как его раскрыть.

Частая ошибка. Писать √(a^2) = a без модуля. Это верно лишь при a ≥ 0. Забыв про модуль, можно получить отрицательное значение корня, чего вообще не бывает, ведь арифметический корень неотрицателен по определению.

Применение в вычислениях

Тождество удобно, когда под корнем стоит выражение, которое заведомо является полным квадратом. Например, √(a^2 - 2a + 1) = √((a-1)^2) = |a-1|. Здесь сначала свернули трёхчлен в квадрат разности, а затем применили тождество и получили модуль. Без этого приёма пришлось бы оставлять громоздкий корень, который не упрощается. Такие свёртки часто встречаются при работе с выражениями, содержащими переменную под знаком корня.

Связь со степенной записью

Тождество наглядно показывает разницу между возведением в квадрат и извлечением корня: эти операции не полностью «отменяют» друг друга. Возведение в квадрат теряет информацию о знаке исходного числа, и поэтому при обратном переходе появляется модуль. Это тождество постоянно используют при упрощении выражений с корнями и при решении уравнений с радикалами.

Кратко о главном

• Главное тождество: √(a^2) = |a|.
• Для неотрицательных чисел модуль не меняет значения.
• Для отрицательных модуль меняет знак на плюс.
• Модуль раскрывают по знаку выражения под ним.
• Возведение в квадрат теряет знак числа.
• Запись √(a^2) = a без модуля — ошибка.