Уравнения с модулем

Модуль и его определение

Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей это число, до начала координат на числовой прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, модуль любого числа неотрицателен. По определению: |a| = a, если a >= 0, и |a| = -a, если a < 0. При решении уравнений с модулем мы используем именно это определение, раскрывая модуль на двух промежутках в зависимости от знака подмодульного выражения.

Простейшее уравнение с модулем

Уравнение вида |x| = a решают, опираясь на смысл модуля как расстояния:

• если a > 0, то x = a или x = -a — получаем два корня, симметричных относительно нуля;
• если a = 0, то x = 0 — единственный корень;
• если a < 0, корней нет, ведь модуль не может равняться отрицательному числу.

Запомните главное условие: модуль всегда равен неотрицательному числу. Прежде чем раскрывать модуль, обязательно проверьте знак правой части уравнения.

Разобранный пример

Решим уравнение |x - 3| = 5. Раскрываем модуль по определению, то есть рассматриваем два случая — когда подмодульное выражение равно 5 и когда оно равно −5:

Оба значения подходят, поэтому ответ: x = 8 или x = -2. Геометрически это означает, что мы ищем точки, удалённые от числа 3 ровно на 5 единиц.

Уравнение с переменной в правой части

Если справа стоит не число, а выражение с переменной, например |2x - 1| = x + 4, то после раскрытия модуля каждый найденный корень нужно проверять подстановкой. Дело в том, что правая часть в этом случае может оказаться отрицательной при некоторых значениях икс, а тогда равенство невозможно. Поэтому проверка обязательна — она отсекает посторонние корни.

Уравнение с двумя модулями

Иногда модуль встречается в обеих частях уравнения, например |x - 1| = |2x + 3|. Такое уравнение решают, опираясь на свойство: два числа равны по модулю тогда и только тогда, когда они равны или противоположны. Значит, рассматривают две возможности — выражения равны или одно из них противоположно другому. Каждая возможность даёт линейное уравнение, а из найденных значений собирают общий ответ. Этот приём заметно короче, чем раскрытие модулей по промежуткам.

Частые ошибки. Раскрывают модуль только с плюсом, теряя второй корень. Забывают, что при отрицательной правой части корней нет. Не проверяют корни, когда в правой части стоит выражение с переменной, и записывают в ответ посторонние значения.

Кратко о главном

• Модуль числа — это расстояние до нуля, поэтому он всегда неотрицателен.
• Уравнение |x| = a при a > 0 даёт два корня, при a = 0 — один, при a < 0 — ни одного.
• Модуль раскрывают по определению, рассматривая два случая.
• При переменной в правой части найденные корни обязательно проверяют.