Степенная функция с натуральным показателем

Степенная функция с натуральным показателем

Степенной функцией называют функцию вида y = x^n, где n — натуральное число. Её свойства и внешний вид графика сильно зависят от того, чётный показатель степени или нечётный. Поэтому все такие функции делят на два больших семейства, и у каждого свои особенности.

Чётный показатель

При чётном n (например, y = x^2 или y = x^4) график по форме похож на параболу с ветвями вверх. Функция оказывается чётной, потому что (-x)^n = x^n: при возведении в чётную степень знак исчезает. Из-за этого график симметричен относительно оси y, а значения функции неотрицательны.

Нечётный показатель

При нечётном n (например, y = x^3 или y = x^5) график называют кубической параболой. Функция оказывается нечётной, потому что (-x)^n = -x^n: нечётная степень сохраняет знак числа. Поэтому график симметричен относительно начала координат, а значения функции могут быть и положительными, и отрицательными.

Разбор примера

Сравним значения нечётной степенной функции в противоположных точках:

Значения функции получились противоположными — это и отражает симметрия графика относительно начала координат. Для чётной функции, например y = x^2, в этих же точках значения были бы одинаковыми и равными 4.

Правило. Все графики степенных функций проходят через точку (1; 1). При чётном n график проходит ещё и через точку (-1; 1), а при нечётном — через точку (-1; -1). Эти опорные точки удобно использовать при построении.

Частая ошибка. Думать, что функция y = x^3 принимает только положительные значения. При отрицательных значениях переменной функция отрицательна, ведь куб сохраняет знак числа. Путать поведение чётных и нечётных степеней нельзя.

Монотонность и общие черты

При нечётном показателе функция возрастает на всей числовой прямой: чем больше переменная, тем больше значение функции. При чётном показателе функция убывает на отрицательной полупрямой и возрастает на положительной, а её наименьшее значение равно нулю в начале координат. При этом у всех степенных функций с натуральным показателем есть общие черты: они проходят через начало координат и через точку (1; 1), а с ростом показателя график вблизи нуля становится более пологим, зато дальше от нуля растёт быстрее.

Кратко о главном

• Степенная функция — это y = x^n с натуральным n.
• При чётном n функция чётная, график симметричен оси y.
• При нечётном n функция нечётная, симметрична началу координат.
• Чётная степень даёт y ≥ 0, нечётная — любые значения.
• Нечётная степень сохраняет знак числа, чётная — нет.
• Все графики проходят через точку (1; 1).