Область определения функции
📐 Алгебра · 8 класс
Область определения функции
Областью определения функции называют множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл, то есть при которых можно вычислить её значение. Обозначают область определения как D(y). Найти область определения — значит указать, какие именно числа разрешено подставлять вместо икс, не нарушая правил математики. Это первый шаг при исследовании любой функции и при построении её графика.
Основные ограничения
В курсе 8 класса встречаются два главных запрета, которые сужают область определения функции:
- Деление на нуль запрещено — значит, знаменатель любой дроби не должен обращаться в нуль.
- Под знаком квадратного корня не бывает отрицательного числа — значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Чтобы найти область определения, выписывают все ограничения в виде условий на переменную, решают эти условия и записывают пересечение допустимых значений.
Разобранный пример
Найдём область определения функции y = sqrt(x - 1) / (x - 4). Здесь действуют сразу два ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю. Запишем оба условия:
x - 1 >= 0 => x >= 1; x - 4 != 0 => x != 4Объединяя оба условия, получаем x >= 1 и при этом x != 4. Значит, область определения — это [1; 4) U (4; +беск.). Точка 4 удаляется из промежутка, хотя по корню она и подходила бы.
| Функция | Условие | Область определения |
|---|---|---|
y = 1/x | x != 0 | все числа, кроме 0 |
y = sqrt(x) | x >= 0 | [0; +беск.) |
y = 1/(x - 3) | x != 3 | все числа, кроме 3 |
y = sqrt(x + 2) | x >= -2 | [-2; +беск.) |
Если ограничений нет
Существуют функции, у которых нет никаких ограничений. Это все многочлены, например y = x^2 + 5x - 1. В них нет ни деления на переменную, ни корня, поэтому подставлять можно любое действительное число. Область определения таких функций — вся числовая прямая. Поэтому, прежде чем искать ограничения, стоит проверить, есть ли в формуле дроби и корни.
Корень в знаменателе
Особый случай — когда квадратный корень стоит в знаменателе дроби. Тогда сразу действуют два запрета: подкоренное выражение должно быть неотрицательным и при этом не может равняться нулю, ведь иначе знаменатель обратится в нуль. Эти два условия объединяются в одно строгое неравенство — подкоренное выражение должно быть строго положительным. Например, для функции y = 1 / sqrt(x - 5) область определения задаётся условием x - 5 > 0, то есть x > 5. Такой разбор показывает, как ограничения могут усиливать друг друга.
Частые ошибки. Допускают равенство знаменателя нулю и забывают исключить такую точку. Берут отрицательное подкоренное выражение. Не учитывают сразу оба ограничения, когда в функции есть и дробь, и корень одновременно.
Кратко о главном
- Область определения — это все допустимые значения аргумента.
- Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
- Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
- При нескольких ограничениях берут пересечение всех допустимых значений.