Освобождение от иррациональности в знаменателе
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое освобождение от иррациональности
Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби, после которого в знаменателе не остаётся знака корня. Значение дроби при этом не меняется, потому что мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же выражение. Такое преобразование делает дальнейшие вычисления удобнее и приводит ответ к стандартному виду. Раньше, когда расчёты вели вручную, такой приём заметно упрощал деление, и сегодня он остаётся обязательной частью оформления ответа.
В основе преобразования лежит уже знакомое основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же отличное от нуля выражение, значение дроби не изменится. Нужно лишь подобрать множитель так, чтобы в знаменателе корень исчез.
Два основных случая
| Знаменатель | На что домножаем |
|---|---|
Один корень, например sqrt(b) | На тот же корень sqrt(b) |
Сумма с корнем a + sqrt(b) | На разность a - sqrt(b) |
Разность корней sqrt(a) - sqrt(b) | На сумму sqrt(a) + sqrt(b) |
Случай первый: один корень
Если в знаменателе стоит корень, домножаем числитель и знаменатель на этот корень:
3 / sqrt(2) = (3 * sqrt(2)) / (sqrt(2) * sqrt(2)) = (3 * sqrt(2)) / 2
Здесь мы использовали то, что sqrt(2) * sqrt(2) = 2. Корень в знаменателе пропал, и ответ записан в привычном виде.
Если под корнем есть множитель, его сначала полезно упростить. Например, в дроби 5 / sqrt(8) сначала выносим множитель: sqrt(8) = 2*sqrt(2), а затем домножаем на sqrt(2):
5 / (2*sqrt(2)) = (5*sqrt(2)) / (2*2) = (5*sqrt(2)) / 4
Случай второй: сопряжённое выражение
Сопряжённым для выражения a + sqrt(b) называют выражение a - sqrt(b). Их произведение даёт разность квадратов, и корень исчезает:
(a + sqrt(b))(a - sqrt(b)) = a^2 - b
Освободим от иррациональности дробь:
1 / (sqrt(5) - sqrt(3))
Домножаем на сопряжённое sqrt(5) + sqrt(3):
(sqrt(5) + sqrt(3)) / [(sqrt(5) - sqrt(3))(sqrt(5) + sqrt(3))] = (sqrt(5) + sqrt(3)) / (5 - 3) = (sqrt(5) + sqrt(3)) / 2
Разберём ещё один пример с целым числом в знаменателе:
4 / (3 - sqrt(5))
Сопряжённое к знаменателю — это 3 + sqrt(5). После домножения знаменатель станет 9 - 5 = 4, и дробь упростится:
4*(3 + sqrt(5)) / 4 = 3 + sqrt(5)
Частые ошибки. Домножать нужно и числитель, и знаменатель — иначе значение дроби изменится. При работе с сопряжённым важно правильно применить разность квадратов и не перепутать знак. Также следует помнить, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
Кратко о главном
- Цель — убрать корень из знаменателя без изменения значения дроби.
- Если в знаменателе один корень, домножаем на этот же корень.
- Если в знаменателе сумма или разность, домножаем на сопряжённое.
- Произведение сопряжённых даёт разность квадратов.