Формула корней при чётном втором коэффициенте
📐 Алгебра · 8 класс
Формула для чётного второго коэффициента
Когда второй коэффициент квадратного уравнения чётный, удобнее пользоваться особой, упрощённой формулой корней. Она уменьшает числа в вычислениях, делает дискриминант меньше и тем самым снижает риск арифметической ошибки. Эта формула часто встречается в задачах, где коэффициент при x делится на два.
Обозначение
Пусть уравнение имеет вид ax^2 + 2kx + c = 0, то есть второй коэффициент записан как 2k, где k — половина обычного коэффициента b. Иначе говоря, k = b/2. Тогда вместо полного дискриминанта вводят так называемую четверть дискриминанта, которую обозначают D_1.
Формула. Приb = 2kкорни находят так:x = (-k ± √(k^2 - ac)) / a, где выражениеD_1 = k^2 - acназывают четвертью дискриминанта.
| Величина | Обычная формула | Через k |
|---|---|---|
| Дискриминант | b^2-4ac | D = 4(k^2-ac) |
| Под корнем | √D | 2√(k^2-ac) |
| Условие корней | D ≥ 0 | D_1 ≥ 0 |
Разбор примера
Решим уравнение с чётным вторым коэффициентом:
3x^2 - 8x + 4 = 0
k = -4, a = 3, c = 4
D_1 = (-4)^2 - 3·4 = 16 - 12 = 4
x = (4 ± 2)/3 ⇒ x_1 = 2, x_2 = 2/3Числа получились небольшими: вместо полного дискриминанта, равного 16, мы считали всего лишь четверть, равную 4. Извлекать корень из меньшего числа проще, и вероятность ошибиться ниже. Знак минус у k даёт в формуле -k = 4.
Частая ошибка. Братьkравным всему второму коэффициенту, а не его половине. Если в уравненииb = -8, тоk = -4, а не-8. Перепутав это, получают неверный результат. Поэтому сначала убеждаются, что второй коэффициент действительно чётный, и аккуратно делят его пополам с сохранением знака.
Связь с обычным дискриминантом
Четверть дискриминанта и полный дискриминант связаны простым равенством D = 4·D_1. Это значит, что знаки у них всегда одинаковы, и вывод о числе корней можно делать по любому из них. Если D_1 > 0, уравнение имеет два корня; если D_1 = 0 — один корень; если D_1 < 0 — корней нет. Поэтому при чётном втором коэффициенте достаточно считать только четверть дискриминанта, не возвращаясь к полному.
Когда применять
Формула работает только если второй коэффициент чётный. В этом случае она заметно экономит время. Если же коэффициент при x нечётный, удобнее взять обычную формулу через полный дискриминант b^2-4ac, чтобы не работать с дробным значением k.
Кратко о главном
- Формула применима при чётном втором коэффициенте
b = 2k. - Четверть дискриминанта:
D_1 = k^2 - ac. - Корни:
x = (-k ± √(k^2 - ac)) / a. - Значение
k— это половина второго коэффициента. - Знак коэффициента при делении пополам сохраняют.
- Формула сокращает вычисления и уменьшает дискриминант.