Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей
📐 Алгебра · 8 класс
Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей
Зная график одной функции, можно быстро построить графики родственных функций, не составляя новую таблицу значений. Для этого используют сдвиги — параллельные переносы графика вдоль координатных осей. Достаточно понять, как добавление чисел к формуле двигает график, и тогда множество новых функций строится почти мгновенно.
Сдвиг вверх и вниз
Если к функции прибавить число b, график сдвигается вдоль оси игрек: y = f(x) + b поднимает график на b вверх при положительном b и опускает на |b| вниз при отрицательном. Здесь всё интуитивно: прибавили — поднялись, вычли — опустились.
Сдвиг влево и вправо
Если изменить аргумент, график сдвигается вдоль оси икс: y = f(x − a) сдвигает график на a вправо. Обратите внимание на «обратность» знака: минус в скобке соответствует сдвигу вправо, а плюс — сдвигу влево. Эта особенность чаще всего и вызывает ошибки.
| Запись | Что происходит |
|---|---|
y = f(x) + 3 | сдвиг на 3 вверх |
y = f(x) − 3 | сдвиг на 3 вниз |
y = f(x − 4) | сдвиг на 4 вправо |
y = f(x + 4) | сдвиг на 4 влево |
Порядок построения
- Построить или вспомнить график исходной функции.
- Определить горизонтальный сдвиг по числу внутри аргумента.
- Определить вертикальный сдвиг по числу вне функции.
- Перенести характерные точки (например, вершину) в новое положение.
Разобранный пример
Построим y = (x − 2)² + 1 из параболы y = x².
Шаг 1: x² → (x − 2)² — сдвиг на 2 вправо
Шаг 2: (x − 2)² → (x − 2)² + 1 — сдвиг на 1 вверх
Вершина из (0; 0) переходит в (2; 1)График параболы просто переносится в новое положение, его форма и ширина не меняются — меняются только координаты вершины и всех точек.
Сдвиги других функций
Те же правила работают не только для параболы, но и для любой функции. Например, график y = √(x − 1) — это график y = √x, сдвинутый на единицу вправо, а график y = |x| + 2 — уголок, поднятый на две единицы вверх. Понимание сдвигов экономит время: вместо построения по точкам достаточно перенести знакомый график в нужное место. Если же присутствуют сразу два сдвига, их выполняют последовательно — порядок при чистых переносах не важен.
Правило. Сдвиг по вертикали определяется числом вне функции, сдвиг по горизонтали — числом внутри аргумента, причём знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.
Частые ошибки. Сдвигают вправо приx + aвместоx − a; путают вертикальный и горизонтальный переносы; считают, что форма графика при сдвиге меняется, хотя она сохраняется.
Кратко о главном
f(x) + bсдвигает график по вертикали.f(x − a)сдвигает график вправо наa.- Знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.
- При сдвиге форма графика не меняется.