Биквадратные уравнения
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое биквадратное уравнение
Биквадратным называют уравнение вида ax^4 + bx^2 + c = 0, где коэффициент a не равен нулю. В таком уравнении неизвестное встречается только в чётных степенях: четвёртой и второй. Несмотря на четвёртую степень, биквадратное уравнение решается без сложных приёмов — оно сводится к обычному квадратному уравнению при помощи замены переменной. Название «биквадратное» как раз и подчёркивает, что перед нами «дважды квадратное» выражение.
Метод замены переменной
Вводят новую переменную t = x^2, причём обязательно учитывают условие t >= 0, ведь квадрат любого числа не бывает отрицательным. Тогда x^4 = (x^2)^2 = t^2, и исходное уравнение превращается в квадратное относительно новой переменной:
at^2 + bt + c = 0После решения квадратного уравнения относительно тэ обязательно делают обратную замену x^2 = t и для каждого неотрицательного корня находят соответствующие значения икс.Разобранный пример
Решим уравнение x^4 - 5x^2 + 4 = 0. Сделаем замену t = x^2 и получим квадратное уравнение:
t^2 - 5t + 4 = 0; t_1 = 1, t_2 = 4Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят. Делаем обратную замену для каждого из них:
x^2 = 1 => x = ±1; x^2 = 4 => x = ±2В итоге получаем четыре корня: −2, −1, 1 и 2. Заметьте, что каждый положительный корень тэ порождает сразу два значения икс — с плюсом и с минусом.
Сколько корней может быть
Число корней биквадратного уравнения зависит от того, сколько неотрицательных значений тэ получилось при решении квадратного уравнения. Возможные случаи удобно свести в таблицу.
| Корни по тэ | Условие | Число корней икс |
|---|---|---|
| два положительных | t_1 > 0, t_2 > 0 | четыре |
| один положительный и нуль | t_1 > 0, t_2 = 0 | три |
| один положительный | второй отрицателен | два |
| оба отрицательны | t_1 < 0, t_2 < 0 | нет корней |
Поэтому, найдя значения тэ, нужно внимательно отбросить отрицательные и только потом возвращаться к исходной переменной.
Порядок действий при решении
Чтобы не запутаться, удобно придерживаться чёткой последовательности шагов. Сначала вводят замену и явно записывают условие неотрицательности новой переменной. Затем решают полученное квадратное уравнение и находят оба значения тэ. После этого отбрасывают отрицательные корни. И только в конце для каждого оставшегося значения выполняют обратную замену, извлекая корень и не забывая оба знака. Такой порядок защищает от потери или появления лишних корней и делает решение аккуратным.
Частые ошибки. Забывают условие t >= 0 и пытаются извлечь корень из отрицательного тэ. Находят только положительные значения икс, теряя отрицательные. Не делают обратную замену и ошибочно записывают в ответ значения тэ вместо икс.Кратко о главном
- Биквадратное уравнение имеет вид
ax^4 + bx^2 + c = 0. - Замена
t = x^2сводит его к квадратному, причёмt >= 0. - Для каждого неотрицательного тэ находят два значения икс со знаками плюс и минус.
- Отрицательные значения тэ корней не дают.