Квадратные неравенства
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое квадратное неравенство
Квадратным неравенством называют неравенство, которое можно привести к виду «a·x² + b·x + c больше нуля» (или меньше, либо со знаком «не строго»), где a не равно нулю. Решить его — значит найти все значения x, при которых неравенство верно. Удобнее всего делать это с опорой на график квадратичной функции — параболу.
Идея метода параболы
Графиком функции y = a·x² + b·x + c является парабола. Если a больше нуля, её ветви направлены вверх, если меньше — вниз. Корни уравнения a·x² + b·x + c = 0 показывают, где парабола пересекает ось x. Между этими точками и вне их функция имеет разные знаки, и именно знак нам и нужен.
Сколько корней и что это значит
| Дискриминант | Корни | Что с параболой |
|---|---|---|
| D больше 0 | два разных корня | пересекает ось x в двух точках |
| D = 0 | один корень (двойной) | касается оси x в одной точке |
| D меньше 0 | корней нет | не пересекает ось x, лежит целиком сверху или снизу |
Порядок решения
Сначала находят корни через дискриминант, затем отмечают их на оси, рисуют схематичную параболу и выбирают промежутки с нужным знаком.
Задача: решить неравенство x² − x − 6 больше 0
Шаг 1. Находим корни уравнения x² − x − 6 = 0.
D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, корень из D = 5.
x1 = (1 − 5)/2 = −2; x2 = (1 + 5)/2 = 3.
Шаг 2. Ветви параболы вверх (a = 1 больше 0).
Значит, выше оси (y больше 0) парабола вне корней.
Шаг 3. Нам нужно «больше 0», берём промежутки за пределами корней.
Ответ: x меньше −2 или x больше 3.
Практическое правило. Для ветвей вверх знак «плюс» — снаружи корней, знак «минус» — между корнями. Для ветвей вниз всё наоборот. Если знак нестрогий (больше либо равно), корни включают в ответ; если строгий — исключают.
Особые случаи без корней
Если дискриминант меньше нуля, парабола вообще не касается оси x и целиком лежит по одну сторону от неё. Тогда трёхчлен сохраняет один и тот же знак при всех значениях x. Например, выражение x² + 1 всегда положительно, поэтому неравенство x² + 1 больше 0 верно при любом x, а неравенство x² + 1 меньше 0 не имеет решений вовсе. Полезно сразу определять направление ветвей: при a больше нуля и D меньше нуля трёхчлен везде положителен, при a меньше нуля — везде отрицателен.
Запись ответа промежутками
Ответ к квадратному неравенству удобно записывать в виде числовых промежутков. Решение «x меньше −2 или x больше 3» означает объединение двух лучей. Решение «между корнями» даёт один отрезок или интервал. Важно правильно выбрать круглые или квадратные скобки: круглая означает, что граница не входит (строгий знак), квадратная — что входит (нестрогий знак).
Кратко о главном
- Квадратное неравенство решают через корни и схематичную параболу.
- Знак коэффициента a задаёт направление ветвей: плюс — вверх, минус — вниз.
- Дискриминант показывает число корней и расположение параболы относительно оси x.
- При ветвях вверх «плюс» снаружи корней, «минус» — между ними.
- Нестрогий знак включает корни в ответ, строгий — исключает.