Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем решают, опираясь на геометрический смысл модуля как расстояния на числовой прямой. Модуль |x| — это расстояние от точки икс до нуля. Поэтому неравенства |x| < a и |x| > a имеют наглядную трактовку и удобно записываются равносильными переходами без подбора и перебора. Понимание этого смысла избавляет от необходимости заучивать формулы.

Два основных типа

Пусть a > 0. Тогда работают два правила:

• Неравенство |x| < a равносильно двойному неравенству -a < x < a. Это все точки, удалённые от нуля меньше чем на а единиц.
• Неравенство |x| > a равносильно совокупности x < -a или x > a. Это точки, удалённые от нуля больше чем на а единиц.

Запомните образ: «меньше» собирает все решения в один промежуток вокруг нуля, а «больше» разбивает их на два луча, разбегающихся к краям числовой прямой.

Разобранный пример

Решим неравенство |x - 2| < 3. По правилу для «меньше» это двойное неравенство, которое затем решаем как обычно:

Ответ — промежуток (-1; 5). Теперь решим неравенство |x| >= 4 по правилу для «больше»:

Сводная таблица

Особые случаи

Если в неравенстве a < 0, то результат определяется самим смыслом модуля. Неравенство |x| < a при отрицательном а решений не имеет, ведь модуль не может быть меньше отрицательного числа. А неравенство |x| > a при отрицательном а верно при любом икс, потому что модуль всегда неотрицателен и заведомо больше отрицательного числа. Эти случаи разбирают отдельно, не применяя общих правил.

Как проверить ответ

Полученный ответ полезно проверить на конкретных числах. Берут одно число из найденного промежутка и подставляют в исходное неравенство — оно должно выполняться. Затем берут число вне промежутка — для него неравенство должно нарушаться. Такая проверка занимает несколько секунд, но надёжно ловит ошибку в выборе типа неравенства или в знаке. Особенно она помогает, когда под модулем стоит не просто икс, а целое выражение.

Частые ошибки. Путают типы: при знаке «больше» пишут двойное неравенство, а при знаке «меньше» — совокупность лучей. Забывают рассмотреть случай отрицательной правой части. Теряют граничные точки при нестрогих неравенствах, ставя круглые скобки вместо квадратных.

Кратко о главном

• Неравенство |x| < a при a > 0 даёт промежуток -a < x < a.
• Неравенство |x| > a при a > 0 даёт два луча: x < -a или x > a.
• Модуль трактуют как расстояние до нуля на числовой прямой.
• При отрицательной правой части ответ — либо пустое множество, либо все числа.