Оценка значения квадратного корня
📐 Алгебра · 8 класс
Оценка значения квадратного корня
Оценить квадратный корень — значит указать, между какими целыми числами он находится, и при необходимости найти его приближённое значение. Большинство квадратных корней — иррациональные числа с бесконечной непериодической десятичной записью, поэтому точно их выписать нельзя, но оценить и приблизить можно всегда. Это умение нужно и для прикидки ответа, и для сравнения чисел.
Между какими целыми лежит корень
Чтобы оценить √30, ищут ближайшие точные квадраты — один снизу, другой сверху. Так как 25 < 30 < 36, то, извлекая корень из всех частей неравенства, получаем 5 < √30 < 6. Значит, целая часть корня равна 5: число √30 больше пяти, но меньше шести.
| Корень | Соседние квадраты | Оценка |
|---|---|---|
√10 | 9 и 16 | 3 < √10 < 4 |
√50 | 49 и 64 | 7 < √50 < 8 |
√90 | 81 и 100 | 9 < √90 < 10 |
√150 | 144 и 169 | 12 < √150 < 13 |
Уточнение значения
Чтобы найти корень точнее, проверяют квадраты десятых долей внутри найденного промежутка. Для √30: 5,4² = 29,16, а 5,5² = 30,25. Поскольку 29,16 < 30 < 30,25, получаем 5,4 < √30 < 5,5. Так как 30 ближе к 30,25, то √30 ≈ 5,48. При желании можно так же уточнить до сотых, перебирая квадраты сотых долей.
Зачем нужна оценка
Оценка корня применяется не только сама по себе. С её помощью прикидывают, разумен ли полученный ответ задачи, отмечают иррациональные числа на координатной прямой и сравнивают выражения с корнями. Например, чтобы отметить √7 на прямой, достаточно знать, что это число лежит между 2 и 3, причём ближе к середине промежутка. Без оценки точно поставить такую точку невозможно, ведь её десятичная запись бесконечна. Оценка также нужна, когда в ответе задачи получается корень: проверяя, что √50 ≈ 7,1, легко убедиться, что найденная сторона квадрата или скорость имеет правдоподобную величину.
Порядок действий
- Найти точные квадраты, между которыми лежит подкоренное число.
- Извлечь из них корни — это границы оценки.
- Для уточнения проверить квадраты десятых долей.
- Выбрать ближайшее приближение.
Разобранный пример
Оценим √61 и найдём его с точностью до десятых.
49 < 61 < 64 → 7 < √61 < 8
7,8² = 60,84
7,9² = 62,41
60,84 < 61 < 62,41, значит 7,8 < √61 < 7,9
61 ближе к 60,84, значит √61 ≈ 7,8Правило. Целая часть квадратного корня равна наибольшему целому числу, квадрат которого не превосходит подкоренного числа.
Частые ошибки. Округляют корень до ближайшего целого без оценки; путают, какой квадрат брать снизу, а какой сверху; забывают проверить квадраты десятых при уточнении; берут не соседние, а далёкие квадраты.
Кратко о главном
- Корень оценивают, находя соседние точные квадраты.
- Целая часть — наибольшее целое, чей квадрат не больше подкоренного числа.
- Для уточнения проверяют квадраты десятых долей.
- Большинство корней иррациональны, поэтому их значение приближённое.