Кубический корень

Кубический корень

Кубическим корнем из числа а называют такое число, куб которого равен а. Записывают это как корень 3-й степени из a. Кубический корень — естественное продолжение понятия квадратного корня, только связан он не со второй, а с третьей степенью. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для любого числа: и положительного, и отрицательного, и нуля.

Главное отличие от квадратного корня

Квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел. Причина в том, что квадрат любого числа неотрицателен, и потому отрицательного значения квадрат дать не может. А вот куб отрицательного числа отрицателен, поэтому из отрицательного числа кубический корень извлекается без всяких проблем. Это ключевое различие между корнями чётной и нечётной степени.

Кубический корень из отрицательного числа равен отрицательному числу: корень 3-й степени из (-8) = -2, потому что (-2)^3 = -8. Знак сохраняется, тогда как у квадратного корня такое невозможно.

Разобранный пример

Найдём несколько кубических корней, пользуясь определением. Достаточно подобрать число, куб которого даёт подкоренное значение:

Видно, что знак кубического корня всегда совпадает со знаком подкоренного числа. Это удобно: можно сначала определить знак, а потом искать модуль ответа.

Свойства кубического корня

• Кубический корень из произведения равен произведению кубических корней множителей.
• Кубический корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.
• Кубический корень из куба числа равен самому числу: корень из a^3 = a при любом значении а.

Заметьте важную тонкость: для квадратного корня аналогичное свойство даёт модуль числа, ведь корень из a^2 = |a|. А для кубического корня получается само число без модуля, потому что нечётная степень сохраняет знак. Это прямое следствие разницы между чётными и нечётными степенями.

Где встречается кубический корень

Кубический корень естественно появляется в геометрии при работе с объёмами. Если известен объём куба, то длину его ребра находят как кубический корень из объёма, ведь объём равен ребру в третьей степени. Так же кубический корень нужен, чтобы по объёму шара оценить его радиус. В алгебре кубический корень помогает решать простейшие уравнения третьей степени вида x^3 = a, у которых всегда есть ровно один действительный корень — в отличие от уравнения x^2 = a, где число корней зависит от знака правой части.

Частые ошибки. Считают, будто из отрицательного числа корень не извлекается, путая кубический корень с квадратным. Записывают для кубического корня два значения, хотя он даёт единственное число. Ставят модуль там, где он не нужен.

Кратко о главном

• Кубический корень из а — это число, куб которого равен а.
• Он определён для любого числа, в том числе отрицательного.
• Знак кубического корня совпадает со знаком подкоренного числа.
• Кубический корень из куба равен самому числу, без модуля.