Нули функции и точки пересечения с осями
📐 Алгебра · 8 класс
Нули функции
Нулём функции называют такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Геометрически нули — это абсциссы точек, в которых график пересекает ось икс. Чтобы найти нули функции, надо решить уравнение y(x) = 0. Понятие нулей встречается во множестве задач: от построения графиков до решения неравенств методом интервалов.
Пересечение с осями координат
График любой функции может пересекать оси координат, и эти точки находят по-разному в зависимости от того, о какой оси идёт речь:
- С осью икс — решаем уравнение
y = 0и берём точки вида(x; 0). Это и есть нули функции. - С осью игрек — подставляем
x = 0в формулу функции и находим точку вида(0; y).
С осью игрек график функции пересекается не более чем в одной точке, ведь каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. А нулей у функции может быть несколько или вообще ни одного.
Разобранный пример
Рассмотрим квадратичную функцию y = x^2 - x - 6. Найдём её нули и точку пересечения с осью игрек. Для нулей решаем уравнение, приравняв функцию к нулю:
x^2 - x - 6 = 0; D = 1 + 24 = 25; x_1 = 3, x_2 = -2Значит, график пересекает ось икс в точках (3; 0) и (−2; 0). Теперь найдём пересечение с осью игрек: при x = 0 получаем y = -6, то есть точка (0; −6). Свободный член квадратичной функции всегда показывает ординату пересечения с осью игрек.
| Функция | Нули | Точка на оси игрек |
|---|---|---|
y = 2x - 4 | x = 2 | (0; -4) |
y = x^2 - 9 | x = -3; 3 | (0; -9) |
y = x^2 + 1 | нет нулей | (0; 1) |
y = x^2 - 4x + 4 | x = 2 | (0; 4) |
Когда нулей нет или один
У квадратичной функции число нулей зависит от дискриминанта соответствующего уравнения. Если дискриминант положителен, нулей два. Если он равен нулю, нуль один — в этой точке парабола касается оси икс. Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось икс, и нулей нет совсем. Поэтому перед решением полезно сразу оценить дискриминант. Для линейной функции вида y = kx + b при k != 0 нуль всегда ровно один, ведь её график — прямая, пересекающая ось икс в единственной точке.
Зачем нужны нули функции
Нули функции применяют не только при построении графиков. Они нужны при решении неравенств методом интервалов: именно нули разбивают числовую прямую на промежутки, внутри которых функция сохраняет знак. Кроме того, точки пересечения с осями — это опорные точки, по которым удобно проверять правильность построенного графика. Поэтому умение быстро находить нули экономит время в самых разных задачах.
Частые ошибки. Путают, в каком случае приравнивать к нулю аргумент, а в каком функцию. Записывают нуль функции как значение игрек, хотя нуль — это значение икс. Забывают проверить дискриминант и пропускают случай, когда нулей нет.
Кратко о главном
- Нуль функции — значение аргумента, при котором
y = 0. - Пересечение с осью икс ищут из уравнения
y = 0. - Пересечение с осью игрек находят подстановкой
x = 0. - Нулей может быть несколько или ни одного; с осью игрек — не более одного пересечения.