Медиана, биссектриса и высота треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Три замечательные линии
В каждом треугольнике можно провести особые отрезки, связанные с его вершинами и сторонами. Это медиана, биссектриса и высота. Из каждой вершины выходит по одной такой линии, поэтому в треугольнике всего три медианы, три биссектрисы и три высоты. Эти отрезки очень часто встречаются в задачах, поэтому важно чётко различать их определения.
Медиана
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана делит сторону пополам, то есть на два равных отрезка. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектриса
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Она делит угол треугольника на два равных угла. Каждая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон этого угла.
Высота
Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Высота образует с этой стороной прямой угол. В тупоугольном треугольнике основание высоты может оказаться на продолжении стороны, то есть вне самого треугольника.
| Линия | Что делит | Главное свойство |
|---|---|---|
| Медиана | Противоположную сторону | Делит сторону пополам |
| Биссектриса | Угол при вершине | Делит угол пополам |
| Высота | — | Перпендикулярна стороне |
Особый случай равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике линии, проведённые к основанию, обладают замечательным свойством:
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
Это значит, что один и тот же отрезок одновременно делит основание пополам, делит угол при вершине пополам и перпендикулярен основанию. Это свойство удобно использовать при доказательствах: достаточно провести одну линию, чтобы получить сразу три полезных вывода.
Пример
Пусть в треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Тогда отрезок AM — это медиана:
BM = MC, отрезок AM соединяет вершину A с серединой BCЕсли же отрезок из вершины A образует со стороной BC прямой угол, то это уже высота, и в общем случае она попадает не в середину стороны.
Частые ошибки. Высоту нельзя путать с медианой: высота перпендикулярна стороне, а медиана попадает в её середину, и это разные точки, кроме равнобедренного и равностороннего случаев. Биссектриса делит именно угол, а не сторону пополам.
Кратко о главном
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Биссектриса делит угол треугольника пополам.
- Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне.
- В равнобедренном треугольнике эти три линии к основанию совпадают.