Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Из всех отрезков, соединяющих данную точку с прямой, перпендикуляр — самый короткий. Именно поэтому за расстояние принимают его длину, а не длину какого-либо другого отрезка. Это определение лежит в основе многих понятий: расстояния между параллельными прямыми, высоты треугольника и других.

Перпендикуляр и наклонные

Если из точки, не лежащей на прямой, провести к этой прямой несколько отрезков, то один из них будет перпендикуляром, а все остальные — наклонными. Точку, в которой перпендикуляр встречает прямую, называют основанием перпендикуляра. Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Поэтому расстояние от точки до прямой измеряют именно перпендикуляром.

расстояние(M, a) = длина перпендикуляра MH
где MH ⊥ a, а H — основание перпендикуляра, точка пересечения перпендикуляра с прямой.

Особые случаи

Если точка лежит на самой прямой, то расстояние от неё до этой прямой равно нулю. Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой; оно одинаково в любом месте, ведь параллельные прямые всюду равноудалены. Этот факт часто используют при работе с параллельными прямыми и при построении высот.

Свойство наклонных

Чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра, тем длиннее сама наклонная. Поэтому равные наклонные имеют равноудалённые от основания перпендикуляра основания, и наоборот. Это свойство помогает сравнивать наклонные, не измеряя их напрямую.

Разобранный пример

Из точки M к прямой a проведён перпендикуляр MH = 4 см и наклонная MK = 6 см. Чему равно расстояние от точки M до прямой a?

расстояние = MH = 4 (см)
Наклонная MK = 6 см расстоянием не является, так как она длиннее перпендикуляра.

Частые ошибки. За расстояние принимают длину наклонной или произвольного отрезка до прямой. Расстояние — это всегда длина именно перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Также забывают, что для точки, лежащей на прямой, расстояние равно нулю.

Кратко о главном

• Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра от точки к прямой.
• Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Для точки на прямой расстояние равно нулю.
• Между параллельными прямыми расстояние одинаково всюду.