Катеты и гипотенуза

Катеты и гипотенуза

В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен 90 градусам. Стороны такого треугольника имеют особые названия. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами. Сторону, лежащую напротив прямого угла, называют гипотенузой. Эти названия используют постоянно при изучении прямоугольных треугольников, и их важно не путать.

Расположение сторон

Гипотенуза — это всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, потому что она лежит против самого большого угла, а именно прямого. Катеты короче гипотенузы и являются сторонами прямого угла. Слова пришли из греческого языка: гипотенуза означает «натянутая», а катет — «отвес», «опущенный перпендикуляр».

Связь сторон и углов

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов, ведь общая сумма углов треугольника равна 180, а один угол уже занят прямым. Поэтому два острых угла дополняют друг друга до 90 градусов. Каждый катет лежит против своего острого угла: чем больше острый угол, тем длиннее лежащий против него катет. Эта зависимость между сторонами и углами помогает сравнивать стороны, не измеряя их.

Признаки равенства

Для прямоугольных треугольников есть удобные признаки равенства, опирающиеся на катеты и гипотенузу. Например, два прямоугольных треугольника равны, если равны их катеты, или если равны гипотенуза и катет, или гипотенуза и острый угол. Эти признаки часто используют в задачах на доказательство, ведь прямой угол уже известен и его не нужно проверять отдельно.

Теорема Пифагора

В старших классах катеты и гипотенузу связывает знаменитая теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Но уже в 7 классе важно твёрдо знать сами названия сторон, чтобы в дальнейшем правильно применять эту теорему. Пока же достаточно понимать, что гипотенуза — наибольшая сторона, а катеты образуют прямой угол.

Разобранный пример

В прямоугольном треугольнике один острый угол равен ∠A = 35°. Найдём второй острый угол ∠B.

∠A + ∠B = 90°
∠B = 90° − 35° = 55°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Частые ошибки. Называют гипотенузой любую длинную сторону, не глядя на прямой угол. Гипотенуза определяется только положением — она напротив прямого угла. Также путают, какие стороны образуют прямой угол: его всегда образуют катеты, а не гипотенуза.

Кратко о главном

• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам.
• Катеты — две стороны, образующие прямой угол.
• Гипотенуза лежит против прямого угла и является наибольшей стороной.
• Острые углы в сумме дают 90 градусов.
• Каждый катет лежит против своего острого угла.