Окружность
📏 Геометрия · 7 класс
Окружность и круг
Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние называют радиусом. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть сама граница вместе с её внутренней областью. Важно с самого начала не путать эти понятия: окружность — это линия (граница), а круг — заполненная фигура. По этой причине у окружности измеряют длину, а у круга — площадь, и формулы у них разные.
В жизни окружность встречается всюду: обод колеса, циферблат часов, край стакана, орбита спутника. Геометрия абстрагируется от толщины и материала и оставляет только идеальную линию, что позволяет точно описывать её свойства.
Основные элементы окружности
В окружности есть несколько отрезков, которые нужно чётко различать. Радиус (обозначают R) соединяет центр с любой точкой окружности; все радиусы одной окружности равны между собой. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр (обозначают D) — это хорда, проходящая через центр; он является самой длинной хордой и равен двум радиусам: D = 2R. Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
| Элемент | Что соединяет или делает | Свойство |
|---|---|---|
| Радиус | Центр и точку окружности | Все радиусы равны |
| Хорда | Две точки окружности | В общем случае не проходит через центр |
| Диаметр | Две точки через центр | Самая длинная хорда, D = 2R |
| Касательная | Имеет с окружностью одну точку | Перпендикулярна радиусу в точке касания |
| Секущая | Пересекает окружность | Имеет две общие точки |
Взаимное расположение прямой и окружности
Прямая и окружность могут располагаться тремя способами в зависимости от расстояния d от центра до прямой и радиуса R. Сравнение этих двух величин полностью определяет картину.
- Если
d > R— прямая не имеет общих точек с окружностью, она проходит мимо. - Если
d = R— прямая касается окружности в одной точке, такую прямую называют касательной. - Если
d < R— прямая пересекает окружность в двух точках, её называют секущей.
Свойство касательной
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это одно из самых важных свойств, без которого не решается большинство задач на касательные. Кроме того, отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Разберём пример пошагово, чтобы увидеть, как работает сравнение расстояния и радиуса.
Дано: окружность радиуса R = 5 см, прямая на расстоянии d = 5 см от центра.
Шаг 1. Сравниваем d и R: 5 = 5, значит выполняется условие d = R.
Шаг 2. Вывод: прямая касается окружности и имеет одну общую точку.
Шаг 3. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой.
Шаг 4. Значит угол между радиусом и прямой равен 90°.Частые ошибки. Не путайте окружность и круг: длину окружности и площадь круга считают по разным формулам. Не считайте любую хорду диаметром — диаметром является только хорда, проходящая через центр. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, а не «почти не пересекает её». При сравнении прямой и окружности сравнивают именно расстояние от центра до прямой с радиусом, а не что-либо другое.
Кратко о главном
- Окружность — линия из точек на равном расстоянии от центра; круг — фигура внутри неё.
- Радиус соединяет центр с точкой, диаметр проходит через центр и равен
2R. - Хорда соединяет две точки окружности; самая длинная хорда — это диаметр.
- Расположение прямой определяется сравнением
dиR: больше, равно или меньше. - Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.