Четырёхугольники
📏 Геометрия · 7 класс
Четырёхугольники
Четырёхугольник — это фигура, образованная четырьмя вершинами и четырьмя сторонами, причём никакие три вершины не лежат на одной прямой и стороны не пересекаются (кроме как в общих вершинах). Среди всех четырёхугольников выделяют важное семейство — параллелограммы и их частные виды. Их различают по свойствам сторон, углов и диагоналей.
Параллелограмм и его виды
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. От параллелограмма происходят прямоугольник, ромб и квадрат — каждый из них получается добавлением нового условия. Отдельно от этого семейства стоит трапеция, у которой параллельны только две стороны. Чтобы понять связь между фигурами, удобно представить «лестницу»: квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба, а те, в свою очередь, — всеми свойствами параллелограмма.
| Фигура | Определение | Особое свойство |
|---|---|---|
| Параллелограмм | Противоположные стороны параллельны | Диагонали делятся точкой пересечения пополам |
| Прямоугольник | Параллелограмм с прямыми углами | Диагонали равны |
| Ромб | Параллелограмм с равными сторонами | Диагонали перпендикулярны |
| Квадрат | И прямоугольник, и ромб одновременно | Диагонали равны и перпендикулярны |
| Трапеция | Параллельны только две стороны | Параллельные стороны называют основаниями |
Свойства параллелограмма
В параллелограмме выполняются три ключевых свойства, которые нужно помнить наизусть, потому что они используются почти в каждой задаче:
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны, а соседние углы дают в сумме 180°.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Существуют и обратные утверждения — признаки параллелограмма. Например, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, либо диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это параллелограмм. Признаки позволяют доказывать, что данная фигура — параллелограмм, по её сторонам или диагоналям.
Доказательство равенства противоположных сторон
Дано: параллелограмм ABCD, проведём диагональ AC.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит углы BAC = DCA как накрест лежащие.
Шаг 2. BC ∥ AD, значит углы BCA = DAC как накрест лежащие.
Шаг 3. Сторона AC общая для треугольников ABC и CDA.
Шаг 4. По второму признаку (УСУ) треугольники ABC и CDA равны.
Шаг 5. Значит AB = CD и BC = AD — противоположные стороны равны.Частые ошибки. Квадрат — это одновременно и прямоугольник, и ромб, поэтому он обладает всеми их свойствами сразу. В трапеции параллельны только основания, боковые стороны не параллельны. Диагонали ромба перпендикулярны, но в общем случае не равны; диагонали прямоугольника равны, но не перпендикулярны.
Кратко о главном
- Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными сторонами.
- Его противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся пополам.
- Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами и равными диагоналями.
- Ромб имеет равные стороны и перпендикулярные диагонали; квадрат сочетает оба.
- В трапеции параллельны только два основания.