Биссектриса угла

Биссектриса угла

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Название происходит от латинских слов bis — «дважды» и sectio — «деление», то есть «рассекающая надвое». Биссектриса всегда расположена внутри угла, между его сторонами, и проходит точно посередине между ними.

Запись свойства

Если луч OC — биссектриса угла AOB, то он делит исходный угол на два равных угла. Каждый из них равен половине всего угла:

∠AOC = ∠COB = ½ · ∠AOB
Биссектриса делит угол на две равные части, поэтому каждый из получившихся углов равен половине исходного.

Свойство равноудалённости

Важнейшее свойство биссектрисы такое: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Расстояние от точки до стороны угла измеряют по перпендикуляру, опущенному на эту сторону. Верно и обратное утверждение: если точка, лежащая внутри угла, равноудалена от обеих его сторон, то она обязательно лежит на биссектрисе. Это свойство широко применяют в задачах и при построениях.

Биссектриса угла и биссектриса треугольника

Не следует путать два похожих понятия. Биссектриса угла — это луч, у него нет конца. Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Таким образом, биссектриса треугольника — это часть биссектрисы соответствующего угла.

Биссектрисы треугольника

В треугольнике три угла, и из каждой вершины можно провести биссектрису. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому она является центром вписанной в треугольник окружности. Таким образом, свойство равноудалённости точек биссектрисы напрямую связано с важной задачей о вписанной окружности.

Построение циркулем и линейкой

Биссектрису угла строят с помощью циркуля и линейки в несколько простых шагов:

1. Из вершины O проводят окружность произвольного радиуса; она пересекает стороны угла в точках A и B.
2. Из точек A и B одним и тем же раствором циркуля проводят две дуги, которые пересекаются в точке C внутри угла.
3. Проводят луч OC — это и есть искомая биссектриса.

Правильность такого построения доказывается через равенство треугольников, которые образуются при соединении вспомогательных точек.

Разобранный пример

Угол равен ∠AOB = 76 градусов, а луч OC — его биссектриса. Найдём величину угла ∠COB.

∠COB = 76 : 2 = 38 (градусов)

Частые ошибки. Путают биссектрису угла (луч) с биссектрисой треугольника (отрезок). Забывают, что биссектриса делит угол строго пополам, а не на произвольные части. Иногда проводят биссектрису за пределами угла, хотя она всегда лежит внутри него.

Кратко о главном

• Биссектриса — это луч из вершины, делящий угол пополам.
• Каждая половина равна половине исходного угла.
• Точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.
• Биссектрису строят циркулем и линейкой пересечением дуг.
• Биссектриса треугольника — это часть биссектрисы его угла.