Геометрическое место точек

Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек (сокращённо ГМТ) называют множество всех точек плоскости, обладающих одним и тем же заданным свойством. Это понятие помогает кратко и точно описывать целые фигуры через одно общее условие, а также служит мощным инструментом при решении задач на построение.

Что значит «обладать свойством»

Чтобы некоторое множество точек было геометрическим местом, должны выполняться сразу два условия:

• каждая точка этого множества обладает заданным свойством;
• каждая точка плоскости, обладающая этим свойством, входит в множество.

Иными словами, в ГМТ попадают ровно те точки, что удовлетворяют условию, — не больше и не меньше. Поэтому проверять нужно обе части определения.

Основные примеры в 7 классе

Разбор примера

Найдём ГМТ, равноудалённых от точек A и B.
Условие: расстояние до A = расстоянию до B.
Такому условию удовлетворяет каждая точка
серединного перпендикуляра к отрезку AB.
Других точек с этим свойством на плоскости нет.
⇒ Искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к AB.

Правило. Чтобы доказать, что фигура — это ГМТ с данным свойством, нужно проверить обе части: показать, что все точки фигуры обладают свойством, и что все точки со свойством лежат на фигуре. Без второй проверки доказательство неполное.

Зачем нужно ГМТ

Метод геометрических мест очень помогает в задачах на построение циркулем и линейкой. Если требуется найти точку, удовлетворяющую сразу двум условиям, поступают так: строят два геометрических места — по одному для каждого условия. Тогда искомой будет точка их пересечения, ведь она обладает обоими свойствами одновременно.

Сколько решений

Число точек пересечения двух геометрических мест подсказывает число решений задачи. Линии могут пересечься в одной точке, в двух точках или не пересечься вовсе. Поэтому метод ГМТ заодно помогает понять, сколько решений имеет задача и имеет ли вообще.

Частая ошибка

Распространённая ошибка — проверять только одну часть определения. Недостаточно показать, что точки фигуры обладают свойством. Нужно ещё убедиться, что за пределами фигуры таких точек нет, иначе описание ГМТ окажется неточным.

Кратко о главном

• ГМТ — множество всех точек с одним общим свойством.
• В ГМТ входят ровно точки со свойством — не больше и не меньше.
• Окружность — ГМТ, равноудалённых от центра.
• Серединный перпендикуляр — ГМТ, равноудалённых от концов отрезка.
• Биссектриса — ГМТ, равноудалённых от сторон угла.
• Метод ГМТ помогает в задачах на построение.