Смежные углы

Что такое смежные углы

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными полупрямыми, то есть вместе образуют прямую. Проще говоря, если на прямой отметить точку и провести из неё луч, то этот луч разобьёт развёрнутый угол на два смежных угла. Понятие смежных углов — одно из первых, с которым ученик встречается при изучении свойств углов, и оно постоянно используется в дальнейших темах.

Смежные углы всегда расположены рядом и вместе заполняют половину плоскости вдоль прямой. Их общая вершина лежит на этой прямой, а несовпадающие стороны направлены в противоположные стороны. Важно понимать, что не любые два соседних угла будут смежными: нужно, чтобы их внешние стороны лежали на одной прямой.

Главное свойство смежных углов

Так как стороны смежных углов вместе составляют прямую, а развёрнутый угол равен 180 градусам, мы получаем основное свойство, которое формулируют в виде теоремы.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Это свойство позволяет легко находить один угол, если известен второй: достаточно вычесть данный угол из 180 градусов. Именно поэтому смежные углы так удобны в задачах: зная всего один угол, мы сразу узнаём и второй.

Важные следствия

• Если один из смежных углов прямой, то и второй прямой, ведь 180 − 90 = 90.
• Если один угол острый, то смежный с ним угол обязательно тупой, и наоборот.
• Два смежных угла равны между собой только в одном случае — когда каждый из них равен 90 градусам.
• Смежные углы никогда не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Примеры значений

В таблице показано, как меняется второй угол в зависимости от первого. Видно, что чем больше первый угол, тем меньше смежный ему.

Разбор примера

Пусть один из смежных углов в три раза больше другого. Найдём оба угла.

Обозначим меньший угол через x. Тогда больший равен 3x, а их сумма равна развёрнутому углу:

x + 3x = 180

Сложив одинаковые слагаемые, получаем 4x = 180, значит x = 45. Тогда меньший угол равен 45°, а больший равен 3 · 45 = 135°. Проверим: 45 + 135 = 180° — всё верно. Такой приём с введением буквы для неизвестного угла применяют почти во всех задачах на смежные углы.

Частые ошибки. Не путайте смежные углы с вертикальными: смежные дают в сумме 180°, а вертикальные равны между собой. Ещё одна ошибка — считать смежными любые два соседних угла; их несовпадающие стороны обязаны лежать на одной прямой. Также нельзя забывать проверять ответ сложением.

Кратко о главном

• Смежные углы имеют общую сторону, а две другие образуют прямую.
• Сумма смежных углов равна 180 градусам.
• Зная один угол, второй находят вычитанием из 180°.
• Угол, смежный с прямым, тоже прямой.
• Смежные углы не могут быть оба острыми или оба тупыми.