Третий признак равенства треугольников
📏 Геометрия · 7 класс
Суть третьего признака
Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Иначе говоря, длины трёх сторон полностью задают форму и размеры треугольника — углы при этом определяются однозначно, измерять их не нужно.
Этот признак особенно удобен, когда в задаче известны или легко находятся именно длины сторон, а про углы в условии ничего не сказано. Он отличается от первых двух тем, что не требует знать ни одного угла.
Формальная запись
Для треугольников ABC и A_1B_1C_1 третий признак выглядит так:
ЕслиAB = A_1B_1,BC = B_1C_1иAC = A_1C_1, то треугольникABCравен треугольникуA_1B_1C_1.
Почему так происходит
В основе третьего признака лежит жёсткость конструкции из трёх отрезков. Если соединить три стержня по концам шарнирами, полученный треугольник нельзя перекосить или сложить — его форма зафиксирована. А вот четырёхугольник из четырёх стержней легко деформируется в параллелограмм или ромб. Именно поэтому каркасы крыш, мостов и башен собирают из треугольников.
| Фигура | Число сторон | Жёсткость |
|---|---|---|
| Треугольник | 3 | жёсткий, форма фиксирована |
| Четырёхугольник | 4 | нежёсткий, может деформироваться |
| Пятиугольник | 5 | нежёсткий |
Разбор примера
Рассмотрим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, и проведём в нём диагональ.
Дано: AB = CD, BC = DA; проведена диагональ AC.
Доказать: треугольник ABC = треугольник CDA.
Решение:
1. AB = CD (по условию).
2. BC = DA (по условию).
3. Сторона AC общая, значит AC = CA.
Три стороны соответственно равны.
Вывод: по третьему признаку треугольники равны.Из этого равенства следует, например, что угол B равен углу D, а также что углы при диагонали попарно равны. Так с помощью третьего признака доказывают свойства параллелограмма в следующих классах.
Как правильно сопоставлять стороны
Чтобы признак сработал, стороны нужно сопоставлять по величине: большая сторона одного треугольника соответствует большей стороне другого, средняя — средней, меньшая — меньшей.
- записать длины всех сторон обоих треугольников;
- упорядочить их по возрастанию в каждом треугольнике;
- проверить совпадение соответствующих длин;
- сослаться на третий признак.
Внимание. Нельзя сравнивать стороны вперемешку. Если по ошибке сопоставить большую сторону одного треугольника с меньшей стороной другого, вывод о равенстве окажется неверным.
Когда признак не применить
- если известны только углы — тогда треугольники могут оказаться лишь подобными, но не равными;
- если хотя бы одна сторона не равна соответствующей;
- если соответствие сторон установлено неправильно.
Кратко о главном
- Третий признак: три равные стороны задают равные треугольники.
- Три стороны однозначно определяют все углы треугольника.
- На жёсткости треугольника основаны строительные конструкции.
- Важно правильно сопоставлять стороны между треугольниками по их величине.