Признаки равенства прямоугольных треугольников
📏 Геометрия · 7 класс
Прямоугольные треугольники
Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90 градусам. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Так как один угол всегда равен 90 градусам, для равенства прямоугольных треугольников нужно меньше условий, чем для произвольных треугольников. Поэтому для них формулируют отдельные, более простые признаки равенства. Эти признаки очень удобны в задачах на перпендикуляры и высоты.
Четыре признака равенства
- По двум катетам. Если катеты одного треугольника равны катетам другого, то треугольники равны.
- По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол равны соответственно, то треугольники равны.
- По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол равны соответственно, то треугольники равны.
- По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого, то треугольники равны.
Главная идея. Прямой угол уже задан в обоих треугольниках, поэтому достаточно совпадения всего двух дополнительных элементов, чтобы треугольники оказались равны.
Сводка признаков
| Признак | Что должно совпасть |
|---|---|
| 1 | два катета |
| 2 | катет и острый угол |
| 3 | гипотенуза и острый угол |
| 4 | гипотенуза и катет |
Разбор примера
Два прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы и по равному катету. Равны ли треугольники?
По четвёртому признаку — по гипотенузе и катету — треугольники равны. Значит, равны и их вторые катеты, и все соответствующие острые углы. Этот признак особенно полезен, потому что у произвольных треугольников аналогичного признака нет: для них совпадение двух сторон и угла напротив одной из них не гарантирует равенства. Эти признаки можно вывести из обычных признаков равенства треугольников, добавив к ним равные прямые углы. Например, признак по двум катетам — это частный случай признака равенства по двум сторонам и углу между ними, ведь угол между катетами всегда прямой.
Частые ошибки. Признак по гипотенузе и катету не имеет аналога у произвольных треугольников, поэтому его легко забыть. Также важно: совпадать должны именно соответственные элементы — гипотенуза с гипотенузой, катет с катетом, а не катет с гипотенузой.
Кратко о главном
- У прямоугольного треугольника есть прямой угол, гипотенуза и два катета.
- Гипотенуза лежит против прямого угла и является самой длинной стороной.
- Существуют четыре признака равенства прямоугольных треугольников.
- Достаточно совпадения двух элементов, кроме прямого угла.
- Признак по гипотенузе и катету — особый для прямоугольных треугольников.