Внешний угол треугольника

Понятие внешнего угла

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при данной вершине. Чтобы его получить, нужно продолжить одну из сторон треугольника за вершину. Угол между этим продолжением и второй стороной, выходящей из той же вершины, и есть внешний угол. Понятие внешнего угла помогает короче доказывать многие утверждения о треугольниках.

При каждой вершине можно построить два внешних угла, продолжая то одну, то другую сторону. Эти два угла равны между собой как вертикальные. Поэтому обычно говорят про один внешний угол при вершине, не уточняя, какую сторону продолжили.

Связь с внутренним углом

Внешний угол и смежный с ним внутренний угол вместе составляют развёрнутый угол, ведь они расположены по одну сторону от вершины и дополняют друг друга до прямой:

внешний угол + внутренний угол = 180 градусов

Теорема о внешнем угле

Главное свойство формулируется так:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Это легко вывести из теоремы о сумме углов. Пусть внутренние углы при вершинах равны a, b и c, а внешний угол построен при том угле, который равен c. Тогда внешний угол равен 180 градусов минус c, а сумма всех углов равна 180 градусам, поэтому:

внешний угол = 180 - c = (a + b + c) - c = a + b

Полезное следствие

Из теоремы вытекает, что внешний угол треугольника больше каждого из двух не смежных с ним внутренних углов. Это утверждение часто помогает в доказательствах и при сравнении углов, ведь оно позволяет утверждать неравенство углов, ничего не вычисляя.

Пример решения

Два внутренних угла треугольника равны 35 и 85 градусам. Найдём внешний угол при третьей вершине.

внешний угол = 35 + 85 = 120 градусов

Проверим: третий внутренний угол равен 180 - 120 = 60 градусов, а внешний и внутренний при этой вершине дают 120 + 60 = 180 градусов. Всё сходится, значит решение верно.

Частые ошибки. Внешний угол равен сумме двух не смежных углов, а не всех трёх и не смежного с ним. Не забывайте продлевать именно сторону треугольника, а не проводить новую прямую произвольно. Внешний угол не может быть меньше любого из двух не смежных внутренних углов.

Кратко о главном

• Внешний угол смежен с внутренним углом треугольника.
• Внешний и смежный внутренний угол в сумме дают 180 градусов.
• Внешний угол равен сумме двух не смежных внутренних углов.
• Внешний угол всегда больше каждого из этих двух внутренних углов.